Матрица а не имеет обратной при лямбда равном

Опубликовано: 17.05.2024

, главная диагональ - единицы, остальные элементы нули.

Если Δ ≠ 0 , то матрица называется невырожденной или неособенной; иначе, если равен нулю - вырожденной или особенной.

Теорема. Чтобы имела обратную матрицу, необходимо и достаточно, чтобы ее детерминант был отличен от нуля.

Для не квадратных и вырожденных обратных матриц не существует.

Обратная матрица для , обозначается через -1 , так что В = -1 вычисляется по формуле

где - алгебраические дополнения элементов aij , Δ = ||. Для не квадратной Δ, обратная матрица -1 не существуют.

Вычисление -1 по формуле (1) если имеет высокий порядок трудоёмко, поэтому удобнее найти обратную с помощью метода элементарных преобразований (ЭП). Любую неособенную путём ЭП только столбцов (или только строк) можно привести к единичной Е.

Если совершённые над ЭП в том же порядке применить к единичной Е, то результатом будет обратная матрица -1 . Проще совершать ЭП над и Е одновременно, записывая обе рядом через черту | E. Если нужно вычислить А -1 , то следует использовать только строки или только столбцы.

Свойства обратной матрицы

  • det(A -1 ) = 1/det(A), det обозначает определитель матрицы.
  • (AB) -1 = A -1 B -1 для двух квадратных обратимых A и B.
  • (A -1 ) T = (A T ) -1 ;
  • (kA) -1 = A -1 /k;
  • (A -1 ) -1 = A;
  • E -1 = E;
  • Решение системы линейных уравнений Ax = b (b - ненулевой вектор), x - искомый вектор, если A -1 существует, то x = A -1 b.

Вычисления обратной матрицы с помощью алгебраических дополнений

Алгоритм вычисления обратной А -1 :

  1. Надо вычислить определитель |A|, если он не равен 0, то обратная А -1 существует.
  2. Определяем * , матрица алгебраических дополнений ij соответствующих элементов aij исходной матрицы . Сначала рассчитываем миноры Mij - это определители, которые получаются вычёркиванием строки i и столбца j , ij=(-1) i+j Mij.
  3. * = <> транспонируем - строки заменяем столбцами, *T - это союзная матрица (присоединённая, взаимная).
  4. *T делим на |A|, обратная -1 = *T /Δ.

Пример_1. Дана 2×2 второго порядка, ? Найти обратную .

  1. Найдём ||, он не равен 0, значит обратную -1 существует.
  2. Вычислим алгебраические дополнения каждого элемента матрицы : для первой строки, , для второй строки , .
  3. Составим , транспонируем её (строки заменяем столбцами) .
  4. *T делим на Δ = -2. . Проверка

. Получена E, следовательно, обратная матрица

-1 вычислена верно.

Пример 2. Дана 3×3 третьего порядка, -1 ?.

Решение. det()?
он не равен 0, следовательно, обратная матрица -1 существует, ее можно вычислить по формуле: , где (i,j=1,2,3) - алгебраические дополнения элементов аij исходной . Вычислим их:

, * = , присоединённая *T = Искомая обратная матрица -1 = *T /Δ,

Вычисления обратной матрицы с помощью элементарных преобразований (метод Гаусса-Жордана)

Пример 3. Методом элементарных преобразований вычислить -1 если = .

Решение. Приписываем к исходной справа единичную того же порядка: . С помощью элементарных преобразований столбцов приведём левую “половину” к единичной, совершая одновременно точно такие преобразования над правой "половиной".
Поменяем местами 1 со 2 столбцы:

. К третьему прибавим первый, ко второму - первый, × на -2: . Из первого вычтем удвоенный второй, из третьего - × на 6 второй; . Прибавим третий к первому и второму: . Умножим последний на минус один: . Справа от вертикальной черты квадратная таблица размером 3х3
.

Применение обратной матрицы

Решение систем линейных уравнений

Пример 4 Решить систему.

В матричной форме она примет вид: AX = B. Умножим это уравнение на -1 слева,

||== 2 + 2 -1 -1 + 4 -1 = 5. Так как он не равен 0, то - невырожденная, значит обратная -1 существует. Вычислим элементы * :

Составим , транспонируем её (строки заменяем столбцами) , делим ее на |A|= 5.

. Корни системы определим по формуле X = -1 B =

= x = =, исходная система решена x1= 4, x2= 2, x3=1.

Обращение матрицы в Excel

Эта операция выполняется с помощью функции МОБР(). Сначала введем заполним ячейки A2:C4 исходные данные. Затем выделим ячейки под результат A7:C9 и нажмем комбинацию клавиш <shift>+<Ctrl>+<Enter>. В Excel всегда при матричных операций выделяется место под результат и вводится указанная комбинация клавиш.

Обратная матрица , обратная матрица или вскоре обратная из квадратной матрицы в математике аналогичным образом , что квадратная матрица умножается на выходной матрице, причем матрица получается. Не каждая квадратная матрица имеет обратную; обратимые матрицы называются регулярными матрицами . Регулярная матрицей является представление матрицы с биективным линейным отображением и обратная матрица , то представляет собой обратное отображение этого отображения. Множество регулярных матриц форм фиксированного размера общей линейной группу с матричным умножением в качестве ссылки . Тогда обратная матрица является обратным элементом в этой группе.

Вычисление обратной матрицы также известно как инверсия или инверсия матрицы. Матрицу можно инвертировать с помощью алгоритма Гаусса-Жордана или с помощью дополнений к матрице. Обратная матрица используется в линейной алгебре для решения систем линейных уравнений , для отношений эквивалентности матриц и для разложения матриц.

Оглавление

определение

имеет место, где картина точка представляет на матричное умножение и единичная матрица количества . Если это коммутативное кольцо , тело или наклонное тело , эти два условия эквивалентны, то есть матрица, обратная вправо, также обратна влево и наоборот. ⋅ <\ displaystyle \ cdot>Я. <\ displaystyle I>п × п <\ Displaystyle п \ раз п>Р.

Примеры

Обращение к реальной матрице ( 2 × 2 )

потому что это применяется

Инверсия реальной диагональной матрицы с диагональными элементами получается в результате образования обратных значений всех диагональных элементов, поскольку d 1 , . , d п ≠ 0 <\ displaystyle d_ <1>, \ ldots, d_ \ neq 0>

свойства

Свойства группы

Набор регулярных матриц фиксированного размера над унитарным кольцом образует (как правило, некоммутативную ) группу , общую линейную группу , с умножением матриц в качестве связи . В этой группе единичная матрица является нейтральным элементом, а обратная матрица - обратным элементом . Таким образом, ясно определена инверсия матрицы, а также левая и правая инверсия. В частности, обращение к единичной матрице снова дает единичную матрицу, то есть Р. <\ displaystyle R>GL ⁡ ( п , Р. ) <\ displaystyle \ operatorname (n, R)>

и инверсия обратной матрицы снова является выходной матрицей, то есть

Поэтому матрицы и также называются обратными друг другу. Произведение двух регулярных матриц снова является правильным, и обратное произведение является произведением соответствующего обратного, но в обратном порядке: А. <\ displaystyle A>А. - 1 <\ displaystyle A ^ <- 1>>

Если матрицу можно представить как произведение легко обратимых матриц, то таким образом можно быстро определить обратную матрицу. Общая формула произведения применяется к обратному произведению нескольких матриц.

Эта матрица также отмечена. А. - k <\ displaystyle A ^ <- k>>

Другие свойства

Следующие дополнительные свойства применяются к обратной матрице с записями из тела . Верно обратное к произведению матрицы на скаляр с K <\ displaystyle K>c ∈ K <\ displaystyle c \ in K>c ≠ 0

Инверсия транспонированной матрицы равна транспонированной обратной, поэтому

То же самое относится и к обратной к присоединенной комплексной матрице

Эти две матрицы также иногда записываются через и . Для ранга применяется обратное А. - Т <\ displaystyle A ^ <- T>> А. - ЧАС <\ displaystyle A ^ <- H>>

Инварианты

Некоторые регулярные матрицы сохраняют свои дополнительные свойства при обращении. Примеры этого:

  • верхние и нижние треугольные матрицы, а также строго верхние и нижние треугольные матрицы
  • положительно определенные и отрицательно определенные матрицы
  • симметричные , персимметричные , бисимметричные и центрально-симметричные матрицы
  • унимодулярные и целочисленные унимодулярные матрицы

расчет

Чтобы вычислить инверсию матрицы (также называемую инверсией или обращением матрицы), используется, что ее -й столбец является решениями систем линейных уравнений с -м единичным вектором справа. Численные методы, такие как алгоритм Гаусса-Жордана, затем приводят к эффективным алгоритмам вычисления обратного. Кроме того, явные формулы для обратного могут быть получены с использованием дополнений к матрице. А. <\ displaystyle A>j <\ displaystyle j>а ^ j <\ displaystyle <\ hat > _ > А. ⋅ а ^ j знак равно е j <\ displaystyle A \ cdot <\ hat > _ = e_ > j

Далее предполагается, что элементы в матрице поступают из тела, так что соответствующие арифметические операции всегда могут быть выполнены.

Алгоритм Гаусса-Жордана

Представление уравнения

( а 11 . а 1 п ⋮ ⋮ а п 1 . а п п ) ⋅ ( а ^ 11 . а ^ 1 п ⋮ ⋮ а ^ п 1 . а ^ п п ) знак равно ( 1 0 ⋱ 0 1 ) <\ displaystyle <\ begin a_ <11>& \ ldots & a_ <1n>\\\ vdots &

где -й единичный вектор . Следовательно, матрица, обратная по столбцам, имеет вид е j <\ displaystyle e_ > j <\ displaystyle j>А.

А. - 1 знак равно ( а ^ 1 | а ^ 2 | . | а ^ п ) <\ displaystyle A ^ <- 1>= \ left (<\ hat > _

состоящий из решений линейных систем уравнений, каждое в виде матрицы коэффициентов и единичного вектора в качестве правой части. п <\ displaystyle n>А.

Процедура

Обратную матрицу теперь можно эффективно вычислить с помощью алгоритма Гаусса-Жордана . Идея этого метода заключается в одновременном решении линейных систем уравнений . Для этого матрица коэффициентов сначала расширяется единичной матрицей, а затем записывается п <\ displaystyle n>А. ⋅ а ^ j знак равно е j <\ displaystyle A \ cdot <\ hat > _ = e_ > А. <\ displaystyle A>Я.

Теперь матрица приводится к верхнетреугольной форме с помощью преобразований элементарных строк , при этом единичная матрица также преобразуется: А. <\ displaystyle A>Я.

На этом этапе можно решить, есть ли у матрицы вообще инверсия. Матрица может быть инвертирована тогда и только тогда, когда матрица не содержит нуля на главной диагонали. Если это так, матрицу можно сначала привести к диагональной форме с помощью дальнейших преобразований элементарных линий, а затем преобразовать в единичную матрицу посредством соответствующего масштабирования. Наконец-то вы получите форму А. <\ displaystyle A>А. <\ displaystyle A>Д. <\ displaystyle D>Д.

где справа - искомая инверсия . А. - 1 <\ displaystyle A ^ <- 1>>

Примеры

В качестве примера рассмотрим обратную вещественную матрицу ( 2 × 2 )

искал. Шаги расчета являются результатом алгоритма Гаусса-Жордана

Здесь сначала удаляется нижняя диагональ, что делается путем вычитания удвоения первой строки второй строки. Затем строка над диагональю устанавливается равной нулю, что достигается двойным добавлением второй строки к первой строке. На последнем этапе второй диагональный элемент нормализуется до единицы, что требует умножения второй строки . Обратная поэтому 2 <\ displaystyle \ color 2> 2 <\ displaystyle \ color 2> - 1 <\ displaystyle \ color <синий>-1> А.

В качестве другого примера рассмотрим обратную действительную матрицу ( 3 × 3 )

искал. Прежде всего, два -en в первом столбце удаляются, что достигается двойным вычитанием первой строки. Теперь, когда элемент поворота является то же самым во втором столбце , вторая строка мест с третьей строкой для устранения и верхней треугольной формы получают: 2 <\ displaystyle \ color 2> 0 <\ displaystyle 0>- 3 <\ displaystyle \ color -3>

Эта матрица также обратима. Теперь нужно обнулить только оставшуюся над диагональю линию, для чего нужно дважды добавить вторую строку к трехкратной первой. Наконец, вторую строку нужно разделить на, и результат: 2 <\ displaystyle \ color 2> - 3 <\ displaystyle \ color <Синий>-3>

Обратная поэтому А.

правильность

Тот факт, что обратная матрица фактически вычисляется алгоритмом Гаусса-Жордана, можно продемонстрировать следующим образом. Если элементарные матрицы используются для преобразования матрицы в единичную матрицу , то N 1 , . , N м <\ Displaystyle N_ <1>, \ ldots, N_ > А.

Если обе части этого уравнения умножить на матрицу справа , получится А. - 1 <\ displaystyle A ^ <- 1>>

Соответственно, если матрица преобразуется в единичную матрицу путем умножения ее слева на ряд элементарных матриц , то умножение единичной матрицы на эти элементарные матрицы в том же порядке приводит к обратному . А. <\ displaystyle A>А. - 1 <\ displaystyle A ^ <- 1>>

Представление через адъюнкты

Вывод

С помощью правила Крамера решение системы линейных уравнений также может быть выполнено в явном виде А. ⋅ а ^ j знак равно е j <\ displaystyle A \ cdot <\ hat > _ = e_ >

где матрица создается заменой -го столбца единичным вектором . Если теперь определить определитель в числителе согласно-- му столбцу с помощью теоремы о разложении Лапласа , результатом будет А. я <\ displaystyle A_ > я <\ displaystyle i>е j <\ displaystyle e_ > я

где подматрица из , который создается путем удаления -й строки и -го столбца (обратите внимание на разворот порядка и в приведенной выше формуле ). Суб-определители также называют несовершеннолетних из . Числа А. я j <\ displaystyle A_ > А. <\ displaystyle A>я <\ displaystyle i>j <\ displaystyle j>я <\ displaystyle i>j <\ displaystyle j>Det А. я j <\ displaystyle \ det A_ > А.

также называются кофакторами и, объединенные в матрицу, образуют матрицу сомножителей . Транспонирование матрицы кофакторов также называется придатком из . С дополнением обратная матрица имеет явное представление А. <\ displaystyle A>кофе ⁡ А. знак равно ( а

Это представление также относится к матрицам с элементами из с коммутативным кольца с одним , при условии , что представляет собой блок в кольце. Det А.

Явные формулы

Это приводит к явной формуле для матриц ( 2 × 2 )

Формула для матриц приводит соответственно ( 3 × 3 )

где можно указать с помощью правила Сарруса . Таким образом, явные формулы для обратного также могут быть получены для матриц большего размера; однако их представление и расчет быстро оказывается очень трудоемким. Det А.

Примеры

Обратная матрица следующей вещественной матрицы дается формулой ( 2 × 2 )

и инверсия следующей вещественной матрицы ( 3 × 3 )

Блочная инверсия

Представление с помощью характеристического полинома

Специально для квадратной , регулярной матрицы , обратное может быть вычислена , используя его характеристический полином :

Вставка матрицы в многочлен аналогична вставке действительного числа, за исключением того, что здесь применяются правила вычисления матриц . обозначает единичную матрицу со строками и столбцами. Я. п <\ displaystyle I_ > п

Вывод

пример

Подставив его в формулу, вы получите:

Численный расчет

Как правило, в числовых системах линейные системы уравнений не основаны на обратной форме А. Икс знак равно б

но решается специальными методами для систем линейных уравнений (см. Числовая линейная алгебра ). Метод расчета, использующий обратное, с одной стороны, намного сложнее, а с другой - менее устойчив . Однако иногда вам может потребоваться явно найти обратную матрицу. Затем используются методы аппроксимации , особенно для очень больших матриц . Одним из подходов к этому является ряд Неймана , при котором матрица, обратная матрице, проходит через бесконечный ряд

могут быть представлены при условии сходимости ряда. Если этот ряд обрезать после конечного числа членов, получится приблизительно обратный. Для специальных матриц, таких как ленточные матрицы или матрицы Теплица , существуют эффективные методы вычисления для определения инверсии.

использовать

Специальные матрицы

С помощью обратной матрицы можно охарактеризовать следующие классы матриц:

  • Для самостоятельной обратной матрицы , обратной равно выходной матрицы , то есть . А. - 1 знак равно А. <\ displaystyle A ^ <- 1>= A>
  • Для ортогональной матрицы обратное значение равно транспонированию, то есть . А. - 1 знак равно А. Т <\ displaystyle A ^ <- 1>= A ^ >
  • Для унитарной матрицы обратная равна сопряженной, то есть . А. - 1 знак равно А. ЧАС <\ displaystyle A ^ <- 1>= A ^ >

Другие матрицы, обратные из которых может быть заданы в явном виде, являются, кроме диагональных матриц, фробениусовых матриц , гильбертовых матриц и матриц трехдиагональной-Теплицы .

Обратные фигуры

Матрица отображения обратного отображения, следовательно, в точности обратна матрице отображения выходного отображения.

Двойные базы

Таким образом, базисная матрица дуального базиса в точности обратна базисной матрице прямого базиса.

Эта тема является одной из самых ненавистных среди студентов. Хуже, наверное, только определители.

Фишка в том, что само понятие обратного элемента (и я сейчас не только о матрицах) отсылает нас к операции умножения. Даже в школьной программе умножение считается сложной операцией, а уж умножение матриц — вообще отдельная тема, которой у меня посвящён целый параграф и видеоурок.

Сегодня мы не будем вдаваться в подробности матричных вычислений. Просто вспомним: как обозначаются матрицы, как они умножаются и что из этого следует.

Повторение: умножение матриц

Прежде всего договоримся об обозначениях. Матрицей $A$ размера $\left[ m\times n \right]$ называется просто таблица из чисел, в которой ровно $m$ строк и $n$ столбцов:

Чтобы случайно не перепутать строки и столбцы местами (поверьте, на экзамене можно и единицу с двойкой перепутать — что уж говорить про какие-то там строки), просто взгляните на картинку:


Определение индексов для клеток матрицы

Почему система координат размещена именно в левом верхнем углу? Да потому что именно оттуда мы начинаем читать любые тексты. Это очень просто запомнить.

А почему ось $x$ направлена именно вниз, а не вправо? Опять всё просто: возьмите стандартную систему координат (ось $x$ идёт вправо, ось $y$ — вверх) и поверните её так, чтобы она охватывала матрицу. Это поворот на 90 градусов по часовой стрелке — его результат мы и видим на картинке.

В общем, как определять индексы у элементов матрицы, мы разобрались. Теперь давайте разберёмся с умножением.

Определение. Матрицы $A=\left[ m\times n \right]$ и $B=\left[ n\times k \right]$, когда количество столбцов в первой совпадает с количеством строк во второй, называются .

Именно в таком порядке. Можно сумничать и сказать, мол, матрицы $A$ и $B$ образуют упорядоченную пару $\left( A;B \right)$: если они согласованы в таком порядке, то совершенно необязательно, что $B$ и $A$, т.е. пара $\left( B;A \right)$ — тоже согласована.

Умножать можно только согласованные матрицы.

Определение. $A=\left[ m\times n \right]$ и $B=\left[ n\times k \right]$ — это новая матрица $C=\left[ m\times k \right]$, элементы которой $<_>$ считаются по формуле:

\[<_>=\sum\limits_^<<_>>\cdot <_>\]

Другими словами: чтобы получить элемент $<_>$ матрицы $C=A\cdot B$, нужно взять $i$-строку первой матрицы, $j$-й столбец второй матрицы, а затем попарно перемножить элементы из этой строки и столбца. Результаты сложить.

Да, вот такое суровое определение. Из него сразу следует несколько фактов:

  1. Умножение матриц, вообще говоря, некоммутативно: $A\cdot B\ne B\cdot A$;
  2. Однако умножение ассоциативно: $\left( A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left( B\cdot C \right)$;
  3. И даже дистрибутивно: $\left( A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C$;
  4. И ещё раз дистрибутивно: $A\cdot \left( B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C$.

Дистрибутивность умножения пришлось отдельно описывать для левого и правого множителя-суммы как раз из-за некоммутативности операции умножения.

Если всё же получается так, что $A\cdot B=B\cdot A$, такие матрицы называются перестановочными.

Среди всех матриц, которые там на что-то умножаются, есть особые — те, которые при умножении на любую матрицу $A$ снова дают $A$:

Определение. Матрица $E$ называется , если $A\cdot E=A$ или $E\cdot A=A$. В случае с квадратной матрицей $A$ можем записать:

\[A\cdot E=E\cdot A=A\]

Единичная матрица — частый гость при решении матричных уравнений. И вообще частый гость в мире матриц.:)

А ещё из-за этой $E$ кое-кто придумал всю ту дичь, которая будет написана дальше.

Что такое обратная матрица

Поскольку умножение матриц — весьма трудоёмкая операция (приходится перемножать кучу строчек и столбцов), то понятие обратной матрицы тоже оказывается не самым тривиальным. И требующим некоторых пояснений.

Ключевое определение

Что ж, пора познать истину.

Казалось бы, всё предельно просто и ясно. Но при анализе такого определения сразу возникает несколько вопросов:

  1. Всегда ли существует обратная матрица? И если не всегда, то как определить: когда она существует, а когда — нет?
  2. А кто сказал, что такая матрица ровно одна? Вдруг для некоторой исходной матрицы $A$ найдётся целая толпа обратных?
  3. Как выглядят все эти «обратные»? И как, собственно, их считать?

Насчёт алгоритмов вычисления — об этом мы поговорим чуть позже. Но на остальные вопросы ответим прямо сейчас. Оформим их в виде отдельных утверждений-лемм.

Основные свойства

Что ж, уже неплохо. Мы видим, что обратимыми бывают лишь квадратные матрицы. Теперь давайте убедимся, что обратная матрица всегда одна.

Приведённые рассуждения почти дословно повторяют доказательство единственность обратного элемента для всех действительных чисел $b\ne 0$. Единственное существенное дополнение — учёт размерности матриц.

Впрочем, мы до сих пор ничего не знаем о том, всякая ли квадратная матрица является обратимой. Тут нам на помощь приходит определитель — это ключевая характеристика для всех квадратных матриц.

На самом деле это требование вполне логично. Сейчас мы разберём алгоритм нахождения обратной матрицы — и станет совершенно ясно, почему при нулевом определителе никакой обратной матрицы в принципе не может существовать.

Но для начала сформулируем «вспомогательное» определение:

Определение. — это квадратная матрица размера $\left[ n\times n \right]$, чей определитель равен нулю.

Таким образом, мы можем утверждать, что всякая обратимая матрица является невырожденной.

Как найти обратную матрицу

Сейчас мы рассмотрим универсальный алгоритм нахождения обратных матриц. Вообще, существует два общепринятых алгоритма, и второй мы тоже сегодня рассмотрим.

Тот, который будет рассмотрен сейчас, очень эффективен для матриц размера $\left[ 2\times 2 \right]$ и — частично — размера $\left[ 3\times 3 \right]$. А вот начиная с размера $\left[ 4\times 4 \right]$ его лучше не применять. Почему — сейчас сами всё поймёте.

Алгебраические дополнения

Готовьтесь. Сейчас будет боль. Нет, не переживайте: к вам не идёт красивая медсестра в юбке, чулках с кружевами и не сделает укол в ягодицу. Всё куда прозаичнее: к вам идут алгебраические дополнения и Её Величество «Союзная Матрица».

Начнём с главного. Пусть имеется квадратная матрица размера $A=\left[ n\times n \right]$, элементы которой именуются $<_>$. Тогда для каждого такого элемента можно определить алгебраическое дополнение:

Ещё раз. Алгебраическое дополнение к элементу матрицы с координатами $\left( i;j \right)$ обозначается как $<_>$ и считается по схеме:

  1. Сначала вычёркиваем из исходной матрицы $i$-строчку и $j$-й столбец. Получим новую квадратную матрицу, и её определитель мы обозначаем как $M_^<*>$.
  2. Затем умножаем этот определитель на $<<\left( -1 \right)>^>$ — поначалу это выражение может показаться мозговыносящим, но по сути мы просто выясняем знак перед $M_^<*>$.
  3. Считаем — получаем конкретное число. Т.е. алгебраическое дополнение — это именно число, а не какая-то новая матрица и т.д.
  1. Берём в квадратной матрице $k$ строчек и $k$ столбцов. На их пересечении получится матрица размера $\left[ k\times k \right]$ — её определитель называется минором порядка $k$ и обозначается $<_>$.
  2. Затем вычёркиваем эти «избранные» $k$ строчек и $k$ столбцов. Снова получится квадратная матрица — её определитель называется дополнительным минором и обозначается $M_^<*>$.
  3. Умножаем $M_^<*>$ на $<<\left( -1 \right)>^>$, где $t$ — это (вот сейчас внимание!) сумма номеров всех выбранных строчек и столбцов. Это и будет алгебраическое дополнение.

Взгляните на третий шаг: там вообще-то сумма $2k$ слагаемых! Другое дело, что для $k=1$ мы получим лишь 2 слагаемых — это и будут те самые $i+j$ — «координаты» элемента $<_>$, для которого мы ищем алгебраическое дополнение.

Таким образом сегодня мы используем слегка упрощённое определение. Но как мы увидим в дальнейшем, его окажется более чем достаточно. Куда важнее следующая штука:

Определение. Союзная матрица $S$ к квадратной матрице $A=\left[ n\times n \right]$ — это новая матрица размера $\left[ n\times n \right]$, которая получается из $A$ заменой $<_>$ алгебраическими дополнениями $<_>$:

Первая мысль, возникающая в момент осознания этого определения — «это сколько же придётся всего считать!» Расслабьтесь: считать придётся, но не так уж и много.:)

Что ж, всё это очень мило, но зачем это нужно? А вот зачем.

Основная теорема

Вернёмся немного назад. Помните, в Лемме 3 утверждалось, что обратимая матрица $A$ всегда не вырождена (т.е. её определитель отличен от нуля: $\left| A \right|\ne 0$).

Так вот, верно и обратное: если матрица $A$ не вырождена, то она всегда обратима. И даже существует схема поиска $<^<-1>>$. Зацените:

. Пусть дана квадратная матрица $A=\left[ n\times n \right]$, причём её определитель отличен от нуля: $\left| A \right|\ne 0$. Тогда обратная матрица $<^<-1>>$ существует и считается по формуле:

\[<^<-1>>=\frac<1><\left| A \right|>\cdot <^>\]

А теперь — всё то же самое, но разборчивым почерком. Чтобы найти обратную матрицу, нужно:

  1. Посчитать определитель $\left| A \right|$ и убедиться, что он отличен от нуля.
  2. Составить союзную матрицу $S$, т.е. посчитать 100500 алгебраических дополнений $<_>$ и расставить их на месте $<_>$.
  3. Транспонировать эту матрицу $S$, а затем умножить её на некое число $q=<1>/<\left| A \right|>\;$.

Как видите, в конце каждого примера мы выполняли проверку. В связи с этим важное замечание:

Не ленитесь выполнять проверку. Умножьте исходную матрицу на найденную обратную — должна получиться $E$.

Выполнить эту проверку намного проще и быстрее, чем искать ошибку в дальнейших вычислениях, когда, например, вы решаете матричное уравнение.

Альтернативный способ

Как я и говорил, теорема об обратной матрице прекрасно работает для размеров $\left[ 2\times 2 \right]$ и $\left[ 3\times 3 \right]$ (в последнем случае — уже не так уж и «прекрасно»), а вот для матриц больших размеров начинается прям печаль.

Но не переживайте: есть альтернативный алгоритм, с помощью которого можно невозмутимо найти обратную хоть для матрицы $\left[ 10\times 10 \right]$. Но, как это часто бывает, для рассмотрения этого алгоритма нам потребуется небольшая теоретическая вводная.

Элементарные преобразования

Среди всевозможных преобразований матрицы есть несколько особых — их называют элементарными. Таких преобразований ровно три:

  1. Умножение. Можно взять $i$-ю строку (столбец) и умножить её на любое число $k\ne 0$;
  2. Сложение. Прибавить к $i$-й строке (столбцу) любую другую $j$-ю строку (столбец), умноженную на любое число $k\ne 0$ (можно, конечно, и $k=0$, но какой в этом смысл? Ничего не изменится же).
  3. Перестановка. Взять $i$-ю и $j$-ю строки (столбцы) и поменять местами.

Почему эти преобразования называются элементарными (для больших матриц они выглядят не такими уж элементарными) и почему их только три — эти вопросы выходят за рамки сегодняшнего урока. Поэтому не будем вдаваться в подробности.

Важно другое: все эти извращения нам предстоит выполнять над присоединённой матрицей. Да, да: вы не ослышались. Сейчас будет ещё одно определение — последнее в сегодняшнем уроке.

Присоединённая матрица

Наверняка в школе вы решали системы уравнений методом сложения. Ну, там, вычесть из одной строки другую, умножить какую-то строку на число — вот это вот всё.

Так вот: сейчас будет всё то же, но уже «по-взрослому». Готовы?

Короче говоря, берём матрицу $A$, справа приписываем к ней единичную матрицу $E$ нужного размера, разделяем их вертикальной чертой для красоты — вот вам и присоединённая.:)

В чём прикол? А вот в чём:

Теорема. Пусть матрица $A$ обратима. Рассмотрим присоединённую матрицу $\left[ A\left| E \right. \right]$. Если с помощью элементарных преобразований строк привести её к виду $\left[ E\left| B \right. \right]$, т.е. путём умножения, вычитания и перестановки строк получить из $A$ матрицу $E$ справа, то полученная слева матрица $B$ — это обратная к $A$:

\[\left[ A\left| E \right. \right]\to \left[ E\left| B \right. \right]\Rightarrow B=<^<-1>>\]

Вот так всё просто! Короче говоря, алгоритм нахождения обратной матрицы выглядит так:

  1. Записать присоединённую матрицу $\left[ A\left| E \right. \right]$;
  2. Выполнять элементарные преобразования строк до тех пор, пока права вместо $A$ не появится $E$;
  3. Разумеется, слева тоже что-то появится — некая матрица $B$. Это и будет обратная;
  4. PROFIT!:)

Конечно, сказать намного проще, чем сделать. Поэтому давайте рассмотрим парочку примеров: для размеров $\left[ 3\times 3 \right]$ и $\left[ 4\times 4 \right]$.

Элементы λ -матрицы — это многочлены вида

где — коэффициенты; λ -матрицы тождественно равны нулю, сводится к числовой нулевой матрице. Поэтому нулевые λ -матрицы далее не рассматриваются.

Любую λ -матрицу n-го порядка можно представить в виде многочлена с матричными коэффициентами :

Две λ -матрицы и называются равными , если они имеют одинаковый порядок и равные соответствующие элементы:

Пример 7.1. Представить λ -матрицу в виде многочлена с матричными коэффициентами.

Решение. Данная λ -матрица 2-го порядка , наибольшая из степеней многочленов-элементов матрицы равна 3 . Применяя линейные операции над матрицами, получаем

Полученный многочлен не является регулярным, так как определитель старшего коэффициента равен нулю: .

Операции над многочленными λ -матрицами

Все операции, определенные для числовых матриц, переносятся на λ -матрицы.

Пусть и — λ -матрицы n-го порядка:

Суммой λ -матриц и называется матрица n-го порядка, элементы которой вычисляются по формуле:

При этом сумма может быть представлена в виде многочлена с матричными коэффициентами, степень которого не превосходит наибольшей из степеней слагаемых:

Произведением λ -матрицы на многочлен называется λ -матрица того же порядка, что и , элементы которой вычисляются по формуле

степень которого равна сумме степеней множителей.

В частном случае, когда многочлен тождественно равен постоянной , получаем операцию умножения λ -матрицы на число .

Операция вычитания λ -матриц и определяется как сложение матрицы с матрицей

называют произведением λ -матриц и и обозначают . Произведение λ -матриц можно представить в виде многочлена с матричными коэффициентами, степень которого не превышает суммы степеней множителей:

Транспонированной для λ -матрицы называется λ -матрица , элементы которой вычисляются по формуле

Она обозначается , получаем представление транспонированной λ -матрицы в виде многочлена

Пример 7.2. Даны λ -матрицы и многочлен . Найти и .

Найдем по определению сумму и представим ее как многочлен с матричными коэффициентами

Найдем по определению произведение и представим его в виде многочлена с матричными коэффициентами

Заметим, что степень произведения равна сумме степеней множителей.

Найдем по определению произведение и представим его в виде многочлена с матричными коэффициентами:

Найдем по определению произведение и представим его в виде многочлена с матричными коэффициентами:

В данном случае степень произведения оказалась равной сумме степеней множителей.

Найдем транспонированную λ -матрицу .

Для нахождения определителя λ -матрицы используются те же правила и свойства, что и для числовых матриц, поскольку λ -матрица при фиксированном значении λ -матрицы, ее миноры и алгебраические дополнения представляют собой многочлены переменной Рангом λ -матрицы называется максимальный порядок минора, не равного тождественно нулю, т.е. , если в матрице имеется отличный от нуля минор r-го порядка, а все миноры большего порядка тождественно равны нулю или не существуют.

Присоединенная λ -матрица , транспонированная для матрицы, составленной из алгебраических дополнений элементов матрицы , представляет собой λ -матрицу, причем, как и ранее, справедливо равенство

Действительно, докажем, что , используя пункт 2 замечаний 7.1. Пусть степени левой и правой частей не превосходят различных чисел . Для любого из них имеет место равенство

справедливое для числовых матриц. Следовательно, λ -матрицы в левой и правой частях доказываемого равенства совпадают. Аналогично можно доказать равенство .

Обратной для квадратной λ -матрицы называется λ -матрица , если

Матрица , для которой существует обратная , называется обратимой.

Пример 7.3. Для λ -матрицы найти обратную λ -матрицу.

Решение. Вычислим определитель данной матрицы

Аналогично определяется деление λ -матрицы справа на . Частные и остатки при делении слева и справа в общем случае не совпадают: . При делении с остатком левое частное умножается слева на двучлен , а правое частное — справа.

Многочлен с матричными коэффициентами можно записать двумя способами

которые, разумеется, при любом значении , то получим, в общем случае, разные матрицы:

которые называются, соответственно, правым и левым значениями многочлена при подстановке матрицы матричные коэффициенты многочлена умножаются справа на матрицу — слева.

Подставляя в равенства и вместо переменной и .

Пример 7.4. Разделить λ -матрицу на матрицу , где .

Решение. Запишем λ -матрицу как многочлен второй степени с матричными коэффициентами:

Разделим слева на , повторяя, по существу, алгоритм деления "уголком". Прибавляя к многочлен , получаем λ -матрицу первой степени:

где — левое частное, а — левый остаток.

Разделим справа на . Прибавляя к многочлен , получаем λ -матрицу первой степени , где . Затем к многочлену и получаем числовую матрицу . Выполнив эти действия, имеем

где — правое частное, — правый остаток.

Для проверки полученных результатов воспользуемся теоремой 7.2. Вычислим и , подставив вместо переменной

1. Выясним связь операции транспонирования с вычислением правых и левых значений λ -матрицы. Пусть

Подставляя в эти многочлены вместо аргумента

Транспонируя матрицу , получаем . Следовательно, .

2. Если λ -матрица симметрическая: , то . Если, кроме того, матрица λ -матрицы совпадают: .

3. Если — обратимая λ -матрица, то ее остаток от деления на линейный двучлен также обратимая числовая матрица. В самом деле, пусть , где — правое значение многочлена при подстановке матрицы справа на , получим . Подставим вместо . Следовательно, правый остаток — обратимая числовая матрица. Для левого остатка аналогично получаем , т.е. левый остаток — обратимая числовая матрица.

Для квадратной матрицы $ A_<> $ матрица $ B_<> $ называется левой обратной, если $ BA=E_<> $, где $ E_<> $ — единичная матрица; для матрицы $ A_<> $ матрица $ C_<> $ называется правой обратной если $ AC=E $.

Теорема. Для того, чтобы существовала левая обратная матрица для матрицы $ A_<> $ необходимо и достаточно, чтобы $ \det A_<> \ne 0 $. В этом случае, левая обратная матрица будет единственной и совпадает с правой обратной: $ AB=BA=E $.

Доказательство. Необходимость условия $ \det A_<> \ne 0 $ для существования, например, левой обратной матрицы следует из условия $$ \det (B \cdot A)= \det E \quad \iff \quad (\det B) (\det A) =1 \ . $$

Обратную матрицу к матрице $ A_<> $ обозначают $ A_<>^ <-1>$, а сама процедура нахождения такой матрицы называется обращением матрицы $ A_<> $. Матрица, определитель которой отличен от нуля, называется неособенной или невырожденной или обратимой.

Способы построения

Пример. Вычислить

Алгоритм обращения матрицы посредством приписыванием к ней единичной

1. Осуществляем конкатенацию матриц $ A $ и единичной матрицы $ E $ того же порядка: формируем расширенную $ n\times 2n_<> $-матрицу $ \left[A \mid E \right] $.

2. Элементарными преобразованиями строк расширенной матрицы, добиваемся, чтобы в левой ее половине получилась единичная матрица.

3. Если это удается сделать, то матрица, получившаяся в правой половине и будет $ A_<>^ <-1>$. Если это сделать невозможно, то $ \det A_<>=0 $, т.е. $ A_<>^ <-1>$ не существует.

Пример. Вычислить

Алгоритм шифрования Rijndael, используемый в мобильной телефонии, имеет в одной из стадий следующее преобразование байтов

$$ \begin y_0 \\ y_1 \\ y_2 \\ y_3 \\ y_4 \\ y_5 \\ y_6 \\ y_7 \end = \begin 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \end \begin x_0 \\ x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \\ x_6 \\ x_7 \end + \begin 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end \pmod <2>$$ Найти обратное преобразование.

Ответ ☞ ЗДЕСЬ.

Свойства операции обращения

Если в левой части каждого каждого из следующих равенств операции определены, то равенства справедливы:

Использование для решения систем линейных уравнений

Обратные к конкретным типам матриц

1. треугольной матрице (верхней или нижней), если существует, то будет треугольной матрицей (того же типа);

2. симметричной матрице, если существует, то будет симметричной матрицей;

3. кососимметричной матрице нечетного порядка не существует, а в случае четного порядка, если существует, то будет кососимметричной матрицей;

4. ортогональной матрице $ Q_<> $ всегда существует и получается транспонированием матрицы: $ Q^ <-1>= Q^ <\top>$.

В некоторых приложениях важно по виду матрицы быстро определить существует ли у нее обратная — без непосредственного нахождения этой обратной. Для некоторых типов матриц можно получить «вычислительно дешевые» критерии отличия их определителей от нуля.

Следующая теорема основана на связи определителя матрицы с ее собственными числами.

Теорема. Матрица $ A_<> $, у которой элементы каждой строки обладают свойством

$$ |a_|>|a_|+\dots+|a_|+|a_|+\dots+|a_| \quad npu \quad \forall j\in \ <1,\dots,n\>$$ (модуль элемента на главной диагонали больше суммы модулей остальных элементов строки) называется матрицей с диагональным доминированием (преобладанием). Такая матрица всегда обратима.

Доказательство следует из того факта, что $ \det A_<> \ne 0 $ тогда и только тогда, когда в наборе собственных чисел матрицы 3) $ A_<> $ нет нулевого (см. следствие к теореме 1 ☞ ЗДЕСЬ ). Локализовать собственные числа матрицы можно с помощью теоремы Гершгорина: любое собственное число $ \lambda_<> $ матрицы $ A_<> $ должно удовлетворять хотя бы одному неравенству $$ |\lambda - a_| < \sum_^n |a_ | \ . $$ Геометрический смысл последнего неравенства: число $ \lambda_<> $ лежит в круге комплексной плоскости с центром в точке $ a_^<> $ и радиусом — на основании предположения теоремы — меньшим, чем расстояние от $ 0_<> $ до $ a_ $. Следовательно $ \lambda_<> \ne 0 $. ♦

Обращение блочных матриц

Теорема [Фробениус]. 4) . Пусть имеется блочная квадратная матрица вида

При $ B=\mathbb O $ имеем:

Найти обратную матрицу для матрицы Фробениуса

Решение и ответ ☞ ЗДЕСЬ

Обращение "возмущенных" матриц

Довольно часто ставится задача нахождения обратной к матрице $ A+B_<> $ при условии, что известна матрица $ A^ <-1>$ и доступна некоторая дополнительная информация о «возмущении» — о матрице $ B_<> $.

Следующий результат формулируем только для случая вещественных матриц, хотя существует его обобщение для комплексных.

Теорема [Шерман, Моррисон]. [3]. Пусть матрицы

Особенно полезен этот результат для случая возмущения матрицы $ A_<> $ посредством матриц одноранговых:

Вычислить $ (A+B)^ <-1>$ для

Используется в модифицированном симплекс-методе, в котором на каждом шаге требуется вычислять обратную матрицу для матрицы, которая отличается от матрицы, полученной на предыдущем шаге только в одном столбце [4].

Эта матрица определяется не только для квадратной матрицы $ A_<> $.

Пусть сначала матрица $ A_<> $ порядка $ m\times n_<> $ — вещественная и $ m \ge n_<> $ (число строк не меньше числа столбцов). Если $ \operatorname (A) = n $ (столбцы матрицы линейно независимы), то псевдообратная к матрице $ A_<> $ определяется как матрица $$ A^<+>=(A^<\top>A)^ <-1>A^ <\top>\ . $$ Эта матрица имеет порядок $ n \times m_<> $. Матрица $ (A^<\top>A)^ <-1>$ существует ввиду того факта, что при условии $ \operatorname (A) = n $ будет выполнено $ \det (A^ <\top>A) > 0 $ (см. теорему $ 2 $ в пункте ☞ ТЕОРЕМА БИНЕ-КОШИ или же пункт ☞ СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ГРАМА ). Очевидно, что $ A^ <+>\cdot A = E_ $, т.е. псевдообратная матрица является левой обратной для матрицы $ A_<> $. В случае $ m=n_<> $ псевдообратная матрица совпадает с обратной матрицей: $ A^<+>=A^ <-1>$.

Теорема. Пусть $ A \in \mathbb R^ $, $ m \ge n_<> $ и $ \operatorname (A) = n $. Тогда псевдообратная матрица $ A^ <+>$ является решением задачи минимизации $$ \min_> ||AX-E_m||^2 $$ где $ || \cdot || $ означает евклидову норму (норму Фробениуса) матрицы : $$ ||[h_]_||^2=\sum_ h_^2 \ . $$ При сделанных предположениях решение задачи единственно.

С учетом этого результата понятно как распространить понятие псевдообратной матрицы на случай матрицы $ A \in \mathbb R^ $, у которой число строк меньше числа столбцов: $ m < n_<> $. Будем искать эту матрицу как решение задачи минимизации $$ \min_> ||YA-E_n||^2 \, . $$ Пусть $ \operatorname (A) = m $, т.е. строки матрицы линейно независимы. Тогда псевдообратная к матрице $ A_<> $ определяется как матрица $$ A^<+>= A^ <\top>(A\cdot A^<\top>)^ <-1>\ . $$ Очевидно, что в этом случае $ A\cdot A^<+>=E_m $.

[1]. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. М.ГИФМЛ.1960, с.187-192

[2]. Беклемишев Д.В. Дополнительные главы линейной алгебры. М.Наука.1983, с.187-234

[3]. Gill P.E., Murray W., Wright M.H. Numerical Linear Algebra and Optimization. V.1. Addison-Wesley, NY, 1991

[4]. Таха Х. Введение в исследование операций. Т.1, глава 7. М.Мир. 1985

Читайте также: