Система линейных уравнений не имеет решений если лямбда равна

Опубликовано: 05.05.2024

Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида

где aij и bi (i=1,…,m; b=1,…,n) – некоторые известные числа, а x1,…,xn – неизвестные. В обозначении коэффициентов aij первый индекс iобозначает номер уравнения, а второй j – номер неизвестного, при котором стоит этот коэффициент.

Коэффициенты при неизвестных будем записывать в виде матрицы , которую назовём матрицей системы.

Числа, стоящие в правых частях уравнений, b1,…,bm называются свободными членами.

Совокупность n чисел c1,…,cn называется решением данной системы, если каждое уравнение системы обращается в равенство после подстановки в него чисел c1,…,cn вместо соответствующих неизвестных x1,…,xn.

Наша задача будет заключаться в нахождении решений системы. При этом могут возникнуть три ситуации:

  1. Система может иметь единственное решение.
  2. Система может иметь бесконечное множество решений. Например, . Решением этой системы является любая пара чисел, отличающихся знаком.
  3. И третий случай, когда система вообще не имеет решения. Например, , если бы решение существовало, то x1 + x2 равнялось бы одновременно нулю и единице.

Система линейных уравнений, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной. В противном случае, т.е. если система не имеет решений, то она называется несовместной.

Рассмотрим способы нахождения решений системы.

МАТРИЧНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Матрицы дают возможность кратко записать систему линейных уравнений. Пусть дана система из 3-х уравнений с тремя неизвестными:

Рассмотрим матрицу системы и матрицы столбцы неизвестных и свободных членов

т.е. в результате произведения мы получаем левые части уравнений данной системы. Тогда пользуясь определением равенства матриц данную систему можно записать в виде

Здесь матрицы A и B известны, а матрица X неизвестна. Её и нужно найти, т.к. её элементы являются решением данной системы. Это уравнение называют матричным уравнением.

Заметим, что поскольку обратную матрицу можно найти только для квадратных матриц, то матричным методом можно решать только те системы, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных. Однако, матричная запись системы возможна и в случае, когда число уравнений не равно числу неизвестных, тогда матрица A не будет квадратной и поэтому нельзя найти решение системы в виде X = A -1 B.

Примеры. Решить системы уравнений.

Найдем матрицу обратную матрице A.

Таким образом, x = 3, y = – 1.

Выразим искомую матрицу X из заданного уравнения.

Найдем матрицу А -1 .

Из уравнения получаем .

ПРАВИЛО КРАМЕРА

Рассмотрим систему 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными:

Определитель третьего порядка, соответствующий матрице системы, т.е. составленный из коэффициентов при неизвестных,

называется определителем системы.

Составим ещё три определителя следующим образом: заменим в определителе D последовательно 1, 2 и 3 столбцы столбцом свободных членов

Тогда можно доказать следующий результат.

Доказательство. Итак, рассмотрим систему 3-х уравнений с тремя неизвестными. Умножим 1-ое уравнение системы на алгебраическое дополнение A11 элемента a11, 2-ое уравнение – на A21 и 3-е – на A31:

Сложим эти уравнения:

Рассмотрим каждую из скобок и правую часть этого уравнения. По теореме о разложении определителя по элементам 1-го столбца

Далее рассмотрим коэффициенты при x2:

Аналогично можно показать, что и .

Наконец несложно заметить, что

Таким образом, получаем равенство: .

Аналогично выводятся равенства и , откуда и следует утверждение теоремы.

Примеры. Решить систему уравнений

Итак, х=1, у=2, z=3.

МЕТОД ГАУССА

Ранее рассмотренные методы можно применять при решении только тех систем, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных, причём определитель системы должен быть отличен от нуля. Метод Гаусса является более универсальным и пригоден для систем с любым числом уравнений. Он заключается в последовательном исключении неизвестных из уравнений системы.

Вновь рассмотрим систему из трёх уравнений с тремя неизвестными:

Первое уравнение оставим без изменения, а из 2-го и 3-го исключим слагаемые, содержащие x1. Для этого второе уравнение разделим на а21 и умножим на –а11, а затем сложим с 1-ым уравнением. Аналогично третье уравнение разделим на а31 и умножим на –а11, а затем сложим с первым. В результате исходная система примет вид:

Теперь из последнего уравнения исключим слагаемое, содержащее x2. Для этого третье уравнение разделим на , умножим на и сложим со вторым. Тогда будем иметь систему уравнений:

Отсюда из последнего уравнения легко найти x3, затем из 2-го уравнения x2 и, наконец, из 1-го – x1.

При использовании метода Гаусса уравнения при необходимости можно менять местами.

Часто вместо того, чтобы писать новую систему уравнений, ограничиваются тем, что выписывают расширенную матрицу системы:

и затем приводят её к треугольному или диагональному виду с помощью элементарных преобразований.

К элементарным преобразованиям матрицы относятся следующие преобразования:

  1. перестановка строк или столбцов;
  2. умножение строки на число, отличное от нуля;
  3. прибавление к одной строке другие строки.

Примеры: Решить системы уравнений методом Гаусса.

Вернувшись к системе уравнений, будем иметь

Выпишем расширенную матрицу системы и сведем ее к треугольному виду.

Вернувшись к системе уравнений, несложно заметить, что третье уравнения системы будет ложным, а значит, система решений не имеет.

Разделим вторую строку матрицы на 2 и поменяем местами первый и третий столбики. Тогда первый столбец будет соответствовать коэффициентам при неизвестной z, а третий – при x.

Вернемся к системе уравнений.

Из третьего уравнения выразим одну неизвестную через другую и подставим в первое.

Система $%\begin 4 - 6 = 5\\ \lambda + 3 =4 \end$% не имеет решений, если $% \lambda $% равно. 1) 2, 2) -2, 3) 1.

задан 23 Янв '12 21:35

4 ответа

В данном случае, если надо срочно ответ то можно подставить лямбды: в первом случае, подставив, умножим на 2, и вычтем из первого ур-ия второе: $$4x-4x-6y-6y=5-8$$ $$-12y=-3, y= \frac <1><4>$$, подставляем в первое, получаем $$4x-6X \frac <1><4>=5$$ $$x= \frac <13><8>$$ подставляем во второе найденные $$x,y$$ $$ \frac <13><4>+3X \frac <1><4>=4$$ - верно, т.е. первый ответ не подходит т.к. при этом значении лямбды система имеет решения, аналогично поступаем с остальными решениями. Смотрим, если подставить лямбду равную -2 получим систему:$$4x-6y=5$$ $$-2x+3y=4$$ Домножим вторую на -2, получим:$$4x-6y=5$$ $$4x-6y=-8$$, таким образом получилось два уравнения, из которых очевидно, что система решений не имеет. Третий вариант лямбды рассматривать нет смысла, но я посмотрел, там верно всё. Ответ:"2"

отвечен 23 Янв '12 22:50

Эта система уравнений - две прямых ,и соответственно нам нужно узнать когда эти прямые не пересекаются ,а это возможно тогда и только тогда эти прямые параллельны. $$ k : A1x + B1y + C = 0$$ $$ l : A2x + B2y + C = 0$$ Эти прямые параллельны <=> A1B2 - A2B1 = 0 ( наши прямые совпадать не могут из-за точки x = 0, там выходят $$y = -5/6$$ и $$y = 4/3$$ )

Распишем полученное: $$ 4*3 - \lambda * (-6) = 0 \Longleftrightarrow \lambda = -2 $$ Правильный ответ №2

отвечен 23 Янв '12 23:53

Предполагаю, что решение задачи можно изложить следующим образом:

$%(1) \ \ \begin 4x - 6y = 5 \\ \lambda x + 3y = 4 \end \Leftrightarrow \begin 4 & -6 \\ \lambda & 3 \end \ast \begin x \\ y \end = \begin 5 \\ 4 \end \Leftrightarrow \begin 4 & -6 \\ \lambda & 3 \end \ast \begin x & y \end ^<\mathrm> = \begin 5 \\ 4 \end $%

$%(2) \ \ A = \begin 4 & -6 \\ \lambda & 3 \end \wedge B = \begin 5 \\ 4 \end \Rightarrow det A = 0 \leftrightarrow \neg \exists x \exists y (\ \subseteq \mathbb \wedge A \ast \begin x & y \end ^<\mathrm> = B)$%

$%(3) \ \ det A = 0 \Leftrightarrow det \begin 4 & -6 \\ \lambda & 3 \end = 0 \Leftrightarrow 4 \cdot 3 - (-6) \cdot \lambda = 0 \Leftrightarrow 6 \cdot \lambda = -12 \Leftrightarrow \lambda = -2 $%

$%\lambda = -2 \wedge A = \begin 4 & -6 \\ \lambda & 3 \end \wedge B = \begin 5 \\ 4 \end $%

$% \Rightarrow (A \ast \begin x & y \end ^<\mathrm> = B \leftrightarrow \begin 4x - 6y = 5 \\ -2 x + 3y = 4 \end ) \wedge$%

$% \ \ \ \ (\begin 4x - 6y = 5 \\ -2 x + 3y = 4 \end \leftrightarrow \begin 4x - 6y = 5 \\ 4 x - 6y = -8 \end ) \wedge $%

$% \ \ \ \ (\begin 4x - 6y = 5 \\ 4 x - 6y = -8 \end \rightarrow 5 = -8) \wedge $%

В первой части мы рассматривали системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), все коэффициенты которых были известны. В этой же части разберём СЛАУ, среди коэффициентов которых есть некий параметр. Для исследования СЛАУ на совместность станем использовать теорему Кронекера-Капелли. В процессе решения примеров на данной странице будем применять метод Гаусса или же метод Крамера. Сформулируем теорему и следствие из неё ещё раз:

Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы, т.е. $\rang A=\rang\widetilde$.

Следствие из теоремы Кронекера-Капелли

    Если $\rang A\neq\rang\widetilde$, то СЛАУ несовместна (не имеет решений). Если $\rang A=\rang\widetilde < n$, то СЛАУ является неопределённой (имеет бесконечное количество решений). Если $\rang A=\rang\widetilde = n$, то СЛАУ является определённой (имеет ровно одно решение).

Параметр $n$, использованный выше, равен количеству переменных рассматриваемой СЛАУ.

Чтобы исследовать заданную систему на совместность, нам нужно найти ранг матрицы системы $A$ и ранг расширенной матрицы системы $\widetilde$. Сделать это можно несколькими путями. Стоит учесть, что в данном примере нам требуется не только исследовать систему на совместность, но и указать её решения. Мне кажется наиболее удобным в таких задачах применять метод Гаусса, однако это вовсе не является обязательным. Для разнообразия данный пример решим методом Гаусса, а следующий – методом Крамера. Итак, запишем и начнём преобразовывать расширенную матрицу системы. При записи расширенной матрицы системы поменяем местами первую и вторую строки. Это нужно для того, чтобы первым элементом первой строки стало число -1.

Каким бы ни было значение параметра $k$, полученная нами после преобразований матрица будет содержать не менее двух ненулевых строк (первая и вторая строки точно останутся ненулевыми). Вопрос о количестве решений зависит лишь от третьей строки.

В следствии из теоремы Кронекера-Капелли указаны три случая, и в данном примере легко рассмотреть каждый из них. Начнём с варианта $\rang A\neq\rang\widetilde$, при котором система не имеет решений, т.е. несовместна.

$\rang A\neq\rang\widetilde$

Ранги будут не равны друг другу лишь в одном случае: когда $1-k^2=0$, при этом $2k-2\neq<0>$. В этом случае преобразованная матрица системы будет содержать две ненулевых строки (т.е. $\rang A=2$), а преобразованная расширенная матрица системы будет содержать три ненулевых строки (т.е. $\rang \widetilde=3$). Иными словами, нам требуется решить систему уравнений:

Из первого уравнения имеем: $k=1$ или $k=-1$, однако $k\neq<1>$, поэтому остаётся лишь один случай: $k=-1$. Следовательно, при $k=-1$ система не имеет решений.

$\rang A=\rang\widetilde<3$

Рассмотрим второй пункт следствия из теоремы Кронекера-Капелли – ранги равны между собой, но меньше, чем количество переменных (т.е. меньше 3). Это возможно лишь в том случае, если последняя строка преобразованной расширенной матрицы системы полностью станет нулевой, т.е.

Из данной системы имеем: $k=1$. Именно при $k=1$ третья строка преобразованной расширенной матрицы системы станет нулевой, поэтому $\rang=\rang\widetilde=2$. При этом, повторюсь, у нас всего три переменных, т.е. имеем случай $\rang A=\rang\widetilde=2<3$.

Система имеет бесконечное количество решений. Найдём эти решения. Подставим $k=1$ в преобразованную матрицу и продолжим операции метода Гаусса. Третью строку (она станет нулевой) просто вычеркнем:

$\rang A=\rang\widetilde=3$

Рассмотрим третий пункт следствия из теоремы Кронекера-Капелли – ранги равны между собой и равны количеству переменных. Это возможно лишь в том случае, если $1-k^2\neq<0>$, т.е. $k\neq<-1>$ и $k\neq<1>$. Продолжаем решение методом Гаусса:

Вновь, как и в предыдущем примере, для того, чтобы исследовать заданную систему на совместность, нам нужно найти ранг матрицы системы $A$ и ранг расширенной матрицы системы $\widetilde$. Чтобы исследовать систему на совместность и указать количество решений применим метод Крамера. Можно было бы решить и методом Гаусса, однако в предыдущем примере мы его уже использовали, поэтому для разнообразия решим задачу с помощью метода Крамера. Начнём с вычисления определителя матрицы системы. Этот определитель мы получим с помощью готовой формулы.

Значения переменных $x_1$, $x_2$, $x_3$ будут такими:

Нам остаётся исследовать совместность системы при условии $\Delta=0$. Это равенство возможно при $k=0$ или $k=1$.

Случай $k=0$

Нам остаётся рассмотреть последний случай: $k=1$.

Случай $k=1$

Для наглядности я запишу здесь матрицу системы $A$ и расширенную матрицу системы $\widetilde$, подставив $k=1$:

Задача решена, осталось лишь записать ответ.

Разберём ещё один пример, в котором рассмотрим СЛАУ с четырьмя уравнениями.

Применим метод Гаусса. При записи расширенной матрицы системы поместим первую строку вниз, на место четвёртой строки. А дальше начнём стандартные операции метода Гаусса.

Здесь можно было бы остановиться и рассмотреть случаи $k=1$ и $k\neq<1>$ отдельно. Цель таких действий: разделить вторую, третью и четвёртую строки на $k-1$ при условии $k-1\neq<0>$. Однако пока что полученная нами матрица содержит не столь уж громоздкие элементы, поэтому сейчас отвлекаться на частности я не вижу смысла. Продолжим преобразования в общем виде:

Мы привели расширенную матрицу системы к ступенчатому виду. До черты расположена преобразованная матрица системы. Ранги матриц $A$ и $\widetilde$ зависят от значения параметра $k$. Рассмотрим три случая: $k=1$, $k=-3$ и случай $k\neq<1>$, $k\neq<-3>$.

Случай $k=-3$

Случай $k=1$

$$x_1+x_2+x_3+x_4=1\; \Rightarrow \; x_1=-x_2-x_3-x_4+1.$$

Случай $k\neq<1>$ и $\neq<-3>$

Продолжим решение методом Гаусса. Так как $k\neq<1>$ и $\neq<-3>$, то $(1-k)(k+3)\neq<0>$. Следовательно, мы можем разделить вторую и третью строки на $1-k$, четвёртую строку – на выражение $(1-k)(k+3)$. С полученной после этого матрицей продолжим операции обратного хода метода Гаусса:

Одной из самых важных проблем в техническом вычислении является решение систем одновременных линейных уравнений.

В матричном обозначении общая проблема принимает следующую форму: Учитывая две матрицы A и b, действительно там существует уникальный матричный x, так, чтобы A x = b или x A = b?

Это поучительно, чтобы рассмотреть пример 1 на 1. Например, делает уравнение

имеет уникальное решение?

Ответ, конечно, является да. Уравнение имеет уникальное решение x = 3. Решение легко получено делением:

Несмотря на то, что это не стандартное математическое обозначение, MATLAB использует терминологию деления, знакомую в скалярном случае, чтобы описать решение общей системы одновременных уравнений. Два символа деления, наклонная черта ,/, и обратная косая черта , \, соответствуют этим двум функциям MATLAB mrdivide и mldivide . Эти операторы используются для двух ситуаций, где неизвестная матрица появляется слева или право на матрицу коэффициентов:

Обозначает решение матричного уравнения xA = b, полученное использование mrdivide .

Обозначает решение матричного уравнения Ax = b, полученное использование mldivide .

Думайте о “делении” обеих сторон уравнения Ax = b или xA = b A. Матрица коэффициентов A всегда находится в “знаменателе”.

Условия совместимости размерности для x = A\b потребуйте этих двух матриц A и b иметь одинаковое число строк. Решение x затем имеет одинаковое число столбцов как b и его размерность строки равна размерности столбца A . Для x = b/A , ролями строк и столбцов обмениваются.

На практике линейные уравнения формы Ax = b происходят более часто, чем те из формы xA = b. Следовательно, обратная косая черта используется намного более часто, чем наклонная черта. Остаток от этого раздела концентрируется на операторе обратной косой черты; соответствующие свойства оператора наклонной черты могут быть выведены из идентичности:

Матрица коэффициентов A не должно быть квадратным. Если A имеет размер m-by-n, затем существует три случая:

Квадратная система. Ищите точное решение.

Сверхрешительная система, большим количеством уравнений, чем неизвестные. Найдите решение методом наименьших квадратов.

Недоопределенная система, меньшим количеством уравнений, чем неизвестные. Найдите основное решение с в большей части m ненулевые компоненты.

Mldivide Алгоритм

mldivide оператор использует другие решатели, чтобы обработать различные виды содействующих матриц. Различные случаи диагностированы автоматически путем исследования матрицы коэффициентов. Для получения дополнительной информации смотрите раздел “Algorithms” mldivide страница с описанием.

Общее решение

Общее решение системы линейных уравнений Ax = b описывает все возможные решения. Можно найти общее решение:

Решение соответствующей гомогенной системы Ax = 0. Сделайте это использование null команда, путем ввода null(A) . Это возвращает базис для пробела решения к Ax = 0. Любое решение является линейной комбинацией базисных векторов.

Нахождение конкретного решения неоднородной системы Ax =b.

Можно затем записать любое решение Ax = b как сумма конкретного решения Ax =b, от шага 2, плюс линейная комбинация базисных векторов от шага 1.

Остальная часть этого раздела описывает, как использовать MATLAB, чтобы найти конкретное решение Ax =b, как на шаге 2.

Квадратные системы

Наиболее распространенная ситуация включает квадратную матрицу коэффициентов A и один правый вектор-столбец стороны b .

Невырожденная матрица коэффициентов

Если матричный A несингулярно, затем решение, x = A\b , одного размера с b . Например:

Можно проверить, что A*x точно равно u .

Если A и b являются квадратными и тот же размер, x= A\b также что размер:

Можно проверить, что A*x точно равно b .

Оба из этих примеров имеют точные, целочисленные решения. Это вызвано тем, что матрица коэффициентов была выбрана, чтобы быть pascal(3) , который является (несингулярной) матрицей полного ранга.

Сингулярная матрица коэффициентов

A квадратной матрицы сингулярен, если он не имеет линейно независимых столбцов. Если A сингулярен, решение Ax = b или не существует или не уникален. Оператор обратной косой черты, A\b , выдает предупреждение если A почти сингулярно или если это обнаруживает точную сингулярность.

Если A сингулярен и Ax =, b имеет решение, можно найти конкретное решение, которое не уникально путем ввода

pinv(A) псевдоинверсия A. Если Ax = b не имеет точного решения, то pinv(A) возвращает решение методом наименьших квадратов.

сингулярно, когда можно проверить путем ввода

Поскольку A не является полным рангом, он имеет некоторые равные нулю сингулярные значения.

Точные решения. Для b =[5;2;12] , уравнение Ax = b имеет точное решение, данное

Проверьте тот pinv(A)*b точное решение путем ввода

Решения методом наименьших квадратов. Однако, если b = [3;6;0] , Ax = b не имеет точного решения. В этом случае, pinv(A)*b возвращает решение методом наименьших квадратов. Если вы вводите

вы не возвращаете исходный вектор b .

Можно определить, имеет ли Ax =b точное решение путем нахождения, что строка уменьшала форму эшелона расширенной матрицы [A b] . Чтобы сделать так для этого примера, войти

Поскольку нижний ряд содержит все нули за исключением последней записи, уравнение не имеет решения. В этом случае, pinv(A) возвращает решение методом наименьших квадратов.

Сверхрешительные системы

В этом примере показано, как со сверхрешительными системами часто сталкиваются в различных видах аппроксимирования кривыми к экспериментальным данным.

Количество y измеряется в нескольких различных значениях времени t произвести следующие наблюдения. Можно ввести данные и просмотреть их в таблице со следующими операторами.

Попытайтесь моделировать данные с затухающей показательной функцией

y ( t ) = c 1 + c 2 e - t .

Предыдущее уравнение говорит что векторный y должен быть аппроксимирован линейной комбинацией двух других векторов. Каждый - постоянный вектор, содержащий все единицы, и другой вектор с компонентами exp(-t) . Неизвестные коэффициенты, c 1 и c 2 , может быть вычислен путем выполнения метода наименьших квадратов, который минимизирует сумму квадратов отклонений данных из модели. Существует шесть уравнений в двух неизвестных, представленных 6 2 матрица.

Используйте оператор обратной косой черты, чтобы получить решение методом наименьших квадратов.

Другими словами, метод наименьших квадратов к данным

y ( t ) = 0 . 4 7 6 0 + 0 . 3 4 1 3 e - t .

Следующие операторы оценивают модель в расположенном с равными интервалами шаге в t , и затем постройте результат вместе с исходными данными:

E*c не точно равно y , но различие может хорошо быть меньше погрешностей измерения в исходных данных.

Прямоугольный матричный A имеет неполный ранг, если это не имеет линейно независимых столбцов. Если A имеет неполный ранг, затем решение методом наименьших квадратов к AX = B не уникально. A\B выдает предупреждение если A имеет неполный ранг и производит решение методом наименьших квадратов. Можно использовать lsqminnorm найти решение X это имеет минимальную норму среди всех решений.

Недоопределенные системы

В этом примере показано, как решение недоопределенных систем не уникально. Недоопределенные линейные системы включают больше неизвестных, чем уравнения. Матричная операция левого деления в MATLAB находит основное решение методом наименьших квадратов, которое имеет в большей части m ненулевые компоненты для m - n матрица коэффициентов.

Вот небольшой, случайный пример:

Линейная система Rp = b вовлекает два уравнения в четыре неизвестные. Поскольку матрица коэффициентов содержит маленькие целые числа, уместно использовать format команда, чтобы отобразить решение в рациональном формате. Конкретное решение получено с

Одним из ненулевых компонентов является p(2) потому что R(:,2) столбец R с самой большой нормой. Другим ненулевым компонентом является p(4) потому что R(:,4) доминирует после R(:,2) устраняется.

Полное общее решение недоопределенной системы может быть охарактеризовано путем добавления p к произвольной линейной комбинации пустых векторов пробела, которые могут быть найдены с помощью null функция с опцией, запрашивающей рациональный базис.

Можно проверить, что R*Z нуль и что остаточный R*x - b мал для любого векторного x , где

Начиная со столбцов Z пустые векторы пробела, продукт Z*q линейная комбинация тех векторов:

Z q = ( x ⇀ 1 x ⇀ 2 ) ( u w ) = u x ⇀ 1 + w x ⇀ 2 .

Чтобы проиллюстрировать, выберите произвольный q и создайте x .

Вычислите норму невязки.

Когда бесконечно много решений доступны, решение с минимальной нормой особенно интересно. Можно использовать lsqminnorm вычислить решение методом наименьших квадратов минимальной нормы. Это решение имеет наименьшее значение для norm(p) .

Решение для нескольких правых сторон

Некоторые проблемы касаются решения линейных систем, которые имеют ту же матрицу коэффициентов A , но различные правые стороны b . Когда различные значения b доступны одновременно, можно создать b как матрица с несколькими столбцами и решают все системы уравнений одновременно с помощью одной команды обратной косой черты: X = A\[b1 b2 b3 …] .

Однако иногда различные значения b не все доступны одновременно, что означает, что необходимо решить несколько систем уравнений последовательно. Когда вы решаете одну из этих систем уравнений с помощью наклонной черты (/) или обратная косая черта (\), оператор разлагает на множители матрицу коэффициентов A и использование это матричное разложение, чтобы вычислить решение. Однако в каждый последующий раз вы решаете аналогичную систему уравнений с различным b , оператор вычисляет то же разложение A , который является избыточным расчетом.

Решение этой проблемы состоит в том, чтобы предварительно вычислить разложение A , и затем снова используйте факторы, чтобы решить для различных значений b . На практике, однако, предварительное вычисление разложения этим способом может затруднить, поскольку необходимо знать, какое разложение вычислить (LU, LDL, Холесский, и так далее), а также как умножить факторы, чтобы решить задачу. Например, с LU-разложением необходимо решить две линейных системы, чтобы решить исходную систему Ax = b:

Вместо этого рекомендуемый метод для решения линейных систем с несколькими последовательными правыми сторонами должен использовать decomposition объекты. Эти объекты позволяют вам усилить выигрыши в производительности предварительного вычисления матричного разложения, но они не требуют знания того, как использовать матричные факторы. Можно заменить предыдущее LU-разложение на:

Если вы не уверены который разложение использовать, decomposition(A) выбирает правильный тип на основе свойств A , похожий на то, что делает обратная косая черта.

Вот простой тест возможных выигрышей в производительности этого подхода. Тест решает ту же разреженную линейную систему 100 раз с помощью и обратной косой черты (\) и decomposition .

Займемся изучением систем из m уравнений с n неизвестными. Систему
\begina_<1>^<1>x^<1>+a_<2>^<1>x^<2>+. +a_^<1>x^=b^<1>,\\a_<1>^<2>x^<1>+a_<2>^<2>x^<2>+. +a_^<2>x^=b^<2>,\\\cdots\\a_<1>^x^<1>+a_<2>^x^<2>+. +a_^x^=b^\end мы можем кратко записать в виде \tag <1>A\boldsymbol=\boldsymbol.
Система задается своей расширенной матрицей A^ <*>, получаемой объединением матрицы системы A и столбца свободных членов \boldsymbol .

Простое и эффективное условие, необходимое и достаточное для совместности системы (1) , дает следующая теорема, называемая теоремой Кронекера-Капелли.

Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.

Иначе утверждение теоремы можно сформулировать так: приписывание к матрице A размеров m \times n столбца \boldsymbol высоты m не меняет ее ранга тогда и только тогда, когда этот столбец — линейная комбинация столбцов A .

Если \mathbf\,A^ <*>= \mathbf\,A , то базисный минор A является базисным и для A^ <*>. Следовательно, \boldsymbol раскладывается по базисным столбцам A . Мы можем считать его линейной комбинацией всех столбцов A , добавив недостающие столбцы с нулевыми коэффициентами.

Обратно, если \boldsymbol раскладывается по столбцам A , то элементарными преобразованиями столбцов можно превратить A^ <*>в матрицу A_ <0>, получаемую из A приписыванием нулевого столбца. Из утверждения о том, что ранг матрицы не меняется при элементарных преобразованиях, следует \mathbf\,A_ <0>= \mathbf\,A^ <*>. С другой стороны, \mathbf\,A_ <0>= \mathbf\,A , так как добавление нулевого столбца не может создать новых невырожденных подматриц. Отсюда \mathbf\,A = \mathbf\,A^ <*>, как и требовалось.

Иначе это утверждение можно сформулировать так.

Система линейных уравнений несовместна тогда и только тогда, когда противоречивое равенство 0=1 является линейной комбинацией ее уравнений.

Равенство рангов матрицы системы и расширенной матрицы можно выразить, понимая ранг матрицы как строчный ранг. Это приведет нас к важной теореме, известной как теорема Фредгольма.

Транспонируем матрицу A системы (1) и рассмотрим систему из n линейных уравнений \tag <2>\begin a_<1>^<1>y_<1>+a_<1>^<2>y_<2>+. +a_<1>^y_=0,\\ a_<2>^<1>y_<1>+a_<2>^<2>y_<2>+. +a_<2>^y_=0,\\\cdots\\a_^<1>y_<1>+a_^<2>y_<2>+. +a_^y_=0\end с m неизвестными, матрицей A^ и свободными членами, равными нулю. Она называется сопряженной однородной системой для системы (1) . Если \boldsymbol — столбец высоты m из неизвестных, то систему (2) можно записать как A^ \boldsymbol=\boldsymbol , или лучше в виде \tag <3>\boldsymbol^A=\boldsymbol, где \boldsymbol — нулевая строка длины n .

Для того чтобы система (1) была совместна, необходимо и достаточно, чтобы каждое решение сопряженной однородной системы (3) удовлетворяло уравнению \tag <4>\boldsymbol^ \boldsymbol=y_<1>b^<1>+. +y_b^=0.

1^ <\circ>. Пусть система (1) совместна, то есть существует столбец \boldsymbol высоты n , для которого A\boldsymbol=\boldsymbol . Тогда для любого столбца \boldsymbol высоты m выполнено \boldsymbol^ A\boldsymbol=\boldsymbol^ \boldsymbol . Если \boldsymbol — решение системы (3) , то \boldsymbol^ \boldsymbol=(\boldsymbol^ A)\boldsymbol=\boldsymbol\boldsymbol=0 .

2^ <\circ>. Предположим теперь, что система (1) несовместна. Тогда согласно утверждению 1 строка \begin 0&. & 0& 1 \end входит в упрощенный вид расширенной матрицы A^<*>=\begin A& |& \boldsymbol \end и, следовательно, является линейной комбинацией ее строк. Обозначим коэффициенты этой линейной комбинации y_<1>. y_ и составим из них столбец \boldsymbol . Для этого столбца \boldsymbol^ \begin A& |& \boldsymbol \end=\begin 0&. & 1 \end (согласно данного утверждения). Это же равенство можно расписать как два: \boldsymbol^ A=\boldsymbol и \boldsymbol^ \boldsymbol=1 . Итак, нам удалось найти решение системы (3) , не удовлетворяющее условию (4) . Это заканчивает доказательство.

В качестве примера применим теорему Фредгольма к выводу условия параллельности двух различных прямых на плоскости. Их уравнения составляют систему A_<1>x+B_<1>y+C_<1>=0,\ A_<2>x+B_<2>y+C_<2>=0.
Она не имеет решений, если существуют такие числа y_<1>, y_ <2>, что y_<1>A_<1>+y_<2>A_<2>=0 , y_<1>B_<1>+y_<2>B_<2>=0 , но y_<1>C_<1>+y_<2>C_ <2>\neq 0 . Ясно, что y_ <1>и y_ <2>не равны нулю. Поэтому можно положить \lambda=-y_<2>/y_ <1>и записать полученное условие в виде: существует число \lambda такое, что A_<1>=\lambda A_ <2>, B_<1>=\lambda B_ <2>и C_ <1>\neq \lambda C_ <2>.

Нахождение решений.

В этом пункте мы будем предполагать, что дана совместная система из m линейных уравнений с n неизвестными. Ранг матрицы системы обозначим r . Поскольку ранг расширенной матрицы тоже равен r , мы можем считать базисные столбцы матрицы системы базисными столбцами расширенной матрицы. Элементарными преобразованиями строк приведем расширенную матрицу к упрощенному виду (возможность этого мы уже доказывали). Наша система линейных уравнений перейдет в эквивалентную ей систему из r линейно независимых уравнений.

Для удобства записи будем предполагать, что первые r столбцов — базисные. Тогда преобразованную систему можно записать в виде \tag <5>\begin x^<1>=\beta^<1>-(\alpha_^<1>x^+. +\alpha_^<1>x^),\\\cdots\\x^=\beta^-(\alpha_^x^+. +\alpha_^x^).\end
Здесь \alpha_^ и \beta^ — элементы преобразованной расширенной матрицы. В левых частях равенств мы оставили неизвестные, соответствующие выбранным нами базисным столбцам, так называемые базисные неизвестные. Остальные неизвестные, называемые параметрическими, перенесены в правые части равенств.

Как бы мы ни задали значения параметрических неизвестных, по формулам (5) мы найдем значения базисных так, что они вместе со значениями параметрических неизвестных образуют решение системы (1) . Легко видеть, что так мы получим все множество решений.

На формулах (5) можно было бы и остановиться, но ниже мы дадим более простое и наглядное, а также принципиально важное описание совокупности решений системы линейных уравнений.

Приведенная система.

Сопоставим системе линейных уравнений (1) однородную систему с той же матрицей коэффициентов: \tag<6>A\boldsymbol=\boldsymbol. По отношению к системе (1) она называется приведенной.

Пусть \boldsymbol_ <0>— решение системы (1) . Столбец \boldsymbol также будет ее решением тогда и только тогда, когда найдется такое решение у приведенной системы (6) , что \boldsymbol=\boldsymbol_<0>+\boldsymbol .

Пусть \boldsymbol — решение системы (1) . Рассмотрим разность \boldsymbol=\boldsymbol-\boldsymbol_ <0>. Для нее A\boldsymbol=A\boldsymbol-A\boldsymbol_<0>=\boldsymbol-\boldsymbol=\boldsymbol .

Обратно, если \boldsymbol — решение системы (6) , и \boldsymbol=\boldsymbol_<0>+\boldsymbol , то A\boldsymbol=A\boldsymbol_<0>+A\boldsymbol=\boldsymbol+\boldsymbol=\boldsymbol .

Это предложение сводит задачу описания множества решений совместной системы линейных уравнений к описанию множества решений ее приведенной системы.

Однородная система совместна. Действительно, нулевой столбец является ее решением. Это решение называется тривиальным.

Пусть столбцы матрицы A линейно независимы, то есть \mathbf\,A=n . Тогда система (6) имеет единственное решение (ранее мы это уже доказывали) и, следовательно, нетривиальных решений не имеет.

Если \boldsymbol_ <1>и \boldsymbol_ <2>— решения однородной системы, то любая их линейная комбинация — также решение этой системы.

Действительно, из A\boldsymbol_<1>=\boldsymbol и A\boldsymbol_<2>=\boldsymbol для любых \alpha и \beta следует A(\alpha \boldsymbol_<1>+\beta \boldsymbol_<2>)=\alpha A \boldsymbol_<1>+\beta A\boldsymbol_<2>=\boldsymbol .

Если однородная система имеет нетривиальные решения, то можно указать несколько линейно независимых решений таких, что любое решение является их линейной комбинацией. Сделаем это.

Матрица F , состоящая из столбцов высоты n , называется фундаментальной матрицей для однородной системы с матрицей А, если:

  1. AF=O ;
  2. столбцы F линейно независимы;
  3. ранг F максимален среди рангов матриц, удовлетворяющих условию 1).

Столбцы фундаментальной матрицы называются фундаментальной системой решений.

Если фундаментальная матрица существует, то каждый ее столбец в силу первого условия определения — решение системы. Если система не имеет нетривиальных решений, то фундаментальной матрицы нет. Это будет в том случае, когда столбцы А линейно независимы: \mathbf\,A=n .

Ниже мы докажем, что в остальных случаях фундаментальная матрица существует, но сначала выясним, что означает третье условие в определении.

Пусть A — матрица размеров m \times n и ранга r . Если AF=O , то \mathbf\,F \leq n-r .

Приведем матрицу A к упрощенному виду элементарными преобразованиями строк, а затем элементарными преобразованиями столбцов обратим в нулевые все небазисные столбцы. Мы получим матрицу A'=PAQ , где P и Q — произведения соответствующих элементарных матриц. Первые r строк A' — строки единичной матрицы порядка n , а остальные — нулевые. Обозначим F'=Q^<-1>F . Тогда \mathbf\,F' = \mathbf\,F . Используя ранее доказанное нами утверждение, легко заметить, что первые r строк матрицы A'F' совпадают с первыми r строками F' . Но A'F'=PAF=O и, следовательно, F' содержит r нулевых строк. Так как всего в ней n строк, \mathbf\,F' \leq n-r . Это равносильно доказываемому утверждению.

Покажем теперь, как может быть построена фундаментальная матрица. Согласно ранее доказанному утверждению, решение однородной системы состоит из коэффициентов равной нулю линейной комбинации столбцов матрицы системы. Мы можем получить такие линейные комбинации, основываясь на теореме о базисном миноре. Снова для удобства записи будем считать, что в матрице A первые r столбцов — базисные. Каждый из небазисных столбцов \boldsymbol_ (j=r+1. n) раскладывается по базисным: \tag <7>\boldsymbol_=\alpha_^<1>\boldsymbol_<1>+. +\alpha_^\boldsymbol_. Отсюда следует, что столбец \begin -\alpha_^<1>. -\alpha_^& 0. 0& 1& 0. 0 \end^ решением. (Единица в нем стоит на j -м месте.)

Таких решений можно составить столько, сколько есть небазисных столбцов, то есть (n-r) . Убедимся в том, что эти решения линейно независимы. Для этого объединим все столбцы в одну матрицу \tag <8>\begin -\alpha_^<1>& -\alpha_^<1>&. -\alpha_^<1>,\\\cdots\\-\alpha_^& -\alpha_^&. -\alpha_^,\\1& 0&. & 0\\0& 1&. & 0\\\cdots\\0& 0&. & 1\end.
Подматрица в последних n-r строках — единичная. Поэтому ранг матрицы (8) равен числу столбцов, и столбцы линейно независимы.

Таким образом, мы получили

Если ранг матрицы однородной системы линейных уравнений r меньше числа неизвестных n , то система имеет фундаментальную матрицу из n-r столбцов.

Итак, система столбцов (8) — фундаментальная система решений. Она называется нормальной фундаментальной системой решений. Каждому выбору базисных столбцов соответствует своя нормальная фундаментальная система решений. Вообще же, каждая система из n-r линейно независимых решений является фундаментальной.

Для нахождения матрицы (8) можно привести матрицу A системы к упрощенному виду, что даст коэффициенты разложения небазисных столбцов по базисным.

Пусть F — фундаментальная матрица системы A\boldsymbol=\boldsymbol . Рассмотрим произвольный столбец с высоты n-r . Произведение F\boldsymbol — столбец высоты n , и из равенства AF\boldsymbol =\boldsymbol следует, что при любом с столбец F\boldsymbol — решение системы. Оказывается, имеет место

Столбец \boldsymbol — решение системы A\boldsymbol=\boldsymbol тогда и только тогда, когда существует такой столбец \boldsymbol , что \tag <9>\boldsymbol=F\boldsymbol.

Остается доказать необходимость условия. Пусть \boldsymbol — решение. Присоединив его к F , получим матрицу F^<*>=\begin F\ |\ \boldsymbol \end . Эта матрица удовлетворяет условию AF^<*>=O , так как каждый ее столбец — решение. Значит, \mathbf\,F^<*>=n-r . По теореме Кронекера-Капелли мы заключаем отсюда, что существует столбец \boldsymbol , удовлетворяющий системе F\boldsymbol=\boldsymbol .

Общее решение системы линейных уравнений.

Теперь мы можем собрать воедино наши результаты — утверждения 2 и 6.

Выражение, стоящее в правой части формулы (10) , называется общим решением системы линейных уравнений. Если \boldsymbol_<1>. \boldsymbol_ — фундаментальная система решений, а c_<1>. c_ — произвольные постоянные, то формула (10) может быть написана так: \tag <11>\boldsymbol=\boldsymbol_<0>+c_<1>\boldsymbol_<1>+. +c_\boldsymbol_.

Теорема 3 верна, в частности, и для однородных систем. Если \boldsymbol_ <0>— тривиальное решение, то (10) совпадает с (9) .

Одна из ранее доказанных нами теорем гласит, что для существования единственного решения системы из n линейных уравнений с n неизвестными достаточно, чтобы матрица системы имела детерминант, отличный от нуля. Сейчас легко получить и необходимость этого условия.

Пусть A — матрица системы из n линейных уравнений с n неизвестными. Если \det A=0 , то система либо не имеет решения, либо имеет бесконечно много решений.

Равенство \det A=0 означает, что \mathbf\,A < n и, следовательно, приведенная система имеет бесконечно много решений. Если данная система совместна, то из теоремы 3 следует, что и она имеет бесконечно много решений.

Пример.

Рассмотрим уравнение плоскости как систему \tag<12>Ax+By+Cz+D=0 из одного уравнения. Пусть A \neq 0 и потому является базисным минором матрицы системы. Ранг расширенной матрицы 1, значит, система совместна. Одно ее решение можно найти, положив параметрические неизвестные равными нулю: y=z=0 . Мы получим x=-D/A . Так как n=3 , r=1 , фундаментальная матрица имеет два столбца. Мы найдем их, придав параметрическим неизвестным два набора значений: y=1 , z=0 и y=0 , z=1 . Соответствующие значения базисной неизвестной x , найденные из приведенной системы, будут -B/A и -C/A . Итак, общее решение системы (12) \tag <13>\begin x\\ y\\ z \end=\begin -D/A\\ 0\\ 0 \end+c_ <1>\begin -B/A\\ 1\\ 0 \end+c_ <2>\begin -C/A\\ 0\\ 1 \end.

Выясним геометрический смысл полученного решения. Очевидно, прежде всего, что решение \begin -D/A& 0& 0 \end^ состоит из координат некоторой (начальной) точки плоскости, или, что то же, из компонент ее радиус-вектора. В формуле (10) решение x_0 можно выбирать произвольно. Это соответствует произволу выбора начальной точки плоскости. Мы уже знаем, что компоненты лежащих в плоскости векторов удовлетворяют уравнению A\alpha_<1>+B\alpha_<2>+C\alpha_<3>=0 , то есть приведенной системе. Два линейно независимых решения этой системы (фундаментальная система решений) могут быть приняты за направляющие векторы плоскости. Таким образом, формула (13) — не что иное, как параметрические уравнения плоскости.

Читайте также: