Что значит лямбда в матрицах

Опубликовано: 18.05.2024

Лямбда-матрица - квадратная матрица, элементами которой являются многочлены над некоторым числовым полем. Если имеется некоторый элемент матрицы, который является многочленом степени l <\displaystyle \ l>, и нет элементов матрицы степени большей чем l <\displaystyle \ l>, то l <\displaystyle \ l>- степень λ-матрицы.
A λ =. <\displaystyle A\left\lambda \right=<\begin\lambda ^<4>+\lambda ^<2>+\lambda -1\lambda ^<3>+\lambda ^<2>+\lambda +2\\2\lambda ^<3>-\lambda 2\lambda ^<2>+2\lambda \end>=<\begin10\\00\end>\lambda ^<4>+<\begin01\\20\end>\lambda ^<3>+<\begin11\\02\end>\lambda ^<2>+<\begin11\\-12\end>\lambda +<\begin-12\\00\end>.>

1.1. Алгебра λ-матриц Сложение и умножение
λ-матрицы одного и того же порядка можно складывать и перемножать между собой обычным образом и в результате получится другая λ-матрица.
Пусть A λ <\displaystyle A\left\lambda \right>и B λ <\displaystyle B\left\lambda \right>- λ-матрицы порядков l <\displaystyle \ l>и m <\displaystyle \ m>соответственно, и k = m a x l, m <\displaystyle \ k=maxl,m>, тогда
A λ = A k λ k + A k − 1 λ k − 1 + ⋯ + A 1 λ + A 0 <\displaystyle A\left\lambda \right=A_\lambda ^+A_\lambda ^+\cdots +A_<1>\lambda +A_<0>> ; B λ = B k λ k + B k − 1 λ k − 1 + ⋯ + B 1 λ + B 0 <\displaystyle B\left\lambda \right=B_\lambda ^+B_\lambda ^+\cdots +B_<1>\lambda +B_<0>>,
где хотя бы одна из матриц A k, B k <\displaystyle \ A_,B_> - ненулевая, имеем
A λ + B λ = A k + B k λ k + A k − 1 + B k − 1 λ k − 1 + ⋯ + A 1 + B 1 λ + A 0 + B 0 <\displaystyle A\left\lambda \right+B\left\lambda \right=A_+B_\lambda ^+A_+B_\lambda ^+\cdots +A_<1>+B_<1>\lambda +A_<0>+B_<0>> ; A λ B λ = A k B k λ 2 k + A k B k − 1 + A k − 1 B k λ 2 k − 1 + ⋯ + A 1 B 0 + A 0 B 1 λ + A 0 B 0 <\displaystyle A\left\lambda \rightB\left\lambda \right=A_B_\lambda ^<2k>+A_B_+A_B_\lambda ^<2k-1>+\cdots +A_<1>B_<0>+A_<0>B_<1>\lambda +A_<0>B_<0>> ;

2. λ-матрицы с матричными аргументами
Вследствие некоммутативности умножения матриц, в отличие от свойств обычного многочлена для λ-матрицы нельзя записать равенство, аналогичное
a l λ l + a l − 1 λ l − 1 + ⋯ + a 1 λ + a 0 = λ l a l + λ l − 1 a l − 1 + ⋯ + λ a 1 + a 0 <\displaystyle a_\lambda ^+a_\lambda ^+\cdots +a_<1>\lambda +a_<0>=\lambda ^a_+\lambda ^a_+\cdots +\lambda a_<1>+a_<0>>,
поэтому мы определяем правое значение A B <\displaystyle \ AB>λ-матрицы A λ <\displaystyle \ A\lambda>в матрице B <\displaystyle \ B>как
A B = A l B l + A l − 1 B l − 1 + ⋯ + A 1 B + A 0 <\displaystyle A\leftB\right=A_B^+A_B^+\cdots +A_<1>B+A_<0>>, если A λ = A l λ l + A l − 1 λ l − 1 + ⋯ + A 1 λ + A 0 <\displaystyle A\left\lambda \right=A_\lambda ^+A_\lambda ^+\cdots +A_<1>\lambda +A_<0>> ;
и левое значение A ^ B <\displaystyle <\hat >B> как:
A ^ B = B l A l + B l − 1 A l − 1 + ⋯ + B A 1 + A 0 <\displaystyle <\hat >\leftB\right=B^A_+B^A_+\cdots +BA_<1>+A_<0>>,
и в общем случае A B ≠ A ^ B <\displaystyle AB\neq <\hat >B>.

Кососимметричная матрица.

Описаны операции над матрицами сложение матриц, умножение матрицы на число, умножение матриц и аксиоматически заданы их свойства,. Λ матрицы. Что такое Λ матрицы. Симметричная матрица называется матрицей квадратичной формы Q. Пример. Написать матрицу квадратичной формы. Здесь. Следовательно. Операции над матрицами: сложение матриц, умножение. Additively inverse matrix аддитивно обратная матрица adequate matrix адекватная матрица lambda matrix лямбда матрица leading matrix главная. Собственные векторы и значения матрицы SolverBook. Дефект матрицы $f A $, где матрица A имеет элементарные делители $ \\lambda 1 p 1 \mbox, определяется формулой.

Линейный оператор.

Две λ матрицы называются эквивалентными, если одна из этих матриц может быть получена из другой с помощью конечного числа элементарных. Линейная алгебра Канонический вид полиномиальной матрицы. Для определения матрицы в Maple можно использовать команду matrix n, m, a11 В частности диагональную матрицу можно получить командой diag. Лямбда матрицы это Что такое Лямбда матрицы?. Где матрица \Omega j матрица, составленная из собственных векторов, \Lambda j матрицы Aj. Делая замену переменных v \Omega ju, мы получим. 5. Матричные и векторные вычисления Образовательный. Степень λ матрицы. A\left \lambda\right \begin bmatrix a. Используя обычные операции над матрицами любую λ матрицу.

АВТОР: Alfano, Christine.

QR разложение является основой одного из методов поиска собственных векторов и чисел матрицы QR алгоритма. Определение. Матрица. Коллинеарность свободная энциклопедия. ABC D E, где B,C матрицы 2x2, D,E вектор столбцы, A скаляр число. import numpy as np A 1.5 обычное число A.

А сегодня немного теории. Я не считаю, что лямбда-исчисление является необходимым знанием для любого программиста. Однако, если вам нравится докапываться до истоков, чтобы понять на чем основаны многие языки программирования, вы любознательны и стремитесь познать все в этом мире или просто хотите сдать экзамен по функциональном программированию (как, например, я), то этот пост для вас.

Что это такое

Лямбда-исчисление - это формальная система, то есть набор объектов, формул, аксиом и правил вывода. Благодаря таким системам с помощью абстракций моделируется теория, которую можно использовать в реальном мире, и при этом выводить в ней новые математически доказуемые утверждения. Например, язык запросов SQL основан на реляционном исчислении. Благодаря математической базе, на которой он существует, оптимизаторы запросов могут анализировать алгебраические свойства операций и влиять на скорость работы.

Но речь сегодня не о SQL, а о функциональных языках. Именно для них лямбда-исчисление является основой. Функциональные языки далеко не столь популярны, как, например, объектно-ориентированные, но тем не менее прочно занимают свою нишу. Кроме того, многие идеи из функционального программирования и лямда-исчисления постепенно прокрадываются в другие языки, под видом новых фич.

Если вы изучали формальные языки, то знаете о таком понятии как Машина Тьюринга. Эта вычислительная абстракция определяет класс вычислимых функций. Этот класс столь важен, так как по тезису Черча он эквивалентен понятию алгоритма. Другими словами, любую программу, которую можно запрограммировать на вычислительном устройстве, можно воспроизвести и на машине Тьюринга. А для нас главное то, что лямбда-исчисление по мощности эквивалентно машине Тьюринга и определяет этот же класс функций. Причем создателем лямбда-исчисления является тот самый Алонзо Черч!

Основные понятия

В нотации лямбда-исчисления есть всего три типа выражений:

Переменные: ` x, y, z `
Абстракция - декларация функции: ` lambda x.E ` . Определяем функцию с параметром ` x ` и телом ` E `.
Аппликация - применение функции ` E_1 ` к аргументу ` E_2 ` : ` E_1 E_2`

Сразу пара примеров:

Тождественная функция: ` lambda x. x `
Функция, вычисляющая тождественную функцию: ` lambda x.(lambda y . y) `

Соглашения

Несколько соглашений для понимания, в каком порядке правильно читать выражения:

Аппликация лево-ассоциативна. То есть выражение ` x y z ` читается как ` (x y) z `.
В абстракции группируем скобки вправо. Другими словами, читая абстракцию необходимо распространять ее максимально вправо насколько возможно. Пример: выражение ` lambda x. x \ lambda y . x y z ` эквивалентно ` lambda x. (x \ (lambda y . ((x y) z))) ` , так как абстракция функции с аргументом ` x ` включила в себя все выражение. Следом было проведено включение абстракцией с аргументом ` y ` и ,наконец, в теле этой функции были расставлены скобки для аппликации.

Области видимости переменных

Определим контекст переменной, в котором она может быть использована. Абстракция ` lambda x.E ` связывает переменную ` x `. В результате мы получаем следующие понятия:

` x ` - связанная переменная в выражении .
` E ` - область видимости переменной ` x `.
Переменная свободна в ` E ` , если она не связана в ` E ` . Пример: ` lambda x. x (lambda y. x y z) ` . Cвободная переменная - ` z ` .

Взглянем на следующий пример: ` lambda x. x (lambda x. x) x ` .

Понимание лямбда-выражений существенно усложняется, когда переменные с разными значениями и контекстами используют идентичные имена. Поэтому впредь мы будем пользоваться следующим соглашением: связанные переменные необходимо переименовывать для того, чтобы они имели уникальные имена в выражении. Это возможно благодаря концептуально важному утверждению: выражения, которые могут быть получены друг из друга путем переименования связанных переменных, считаются идентичными. Важность этого утверждения в том, что функции в исчислении определяются лишь своим поведением, и имена функций не несут никакого смысла. То есть, функции ` lambda x. x ` , ` lambda y. y ` , ` lambda z. z ` на самом деле одна тождественная функция.

Вычисление лямбда-выражений

Вычисление выражений заключается в последовательном применении подстановок. Подстановкой ` E’ ` вместо ` x ` в ` E \ ` (запись: ` [E’//x]E ` ) называется выполнение двух шагов:

Альфа-преобразование. Переименование связанных переменных в ` E ` и ` E’ ` , чтобы имена стали уникальными.
Бета-редукция. По сути единственная значимая аксиома исчисления. Подразумевает замену ` x ` на ` E’ ` в ` E ` . Рассмотрим несколько примеров подстановок:

Преобразование к тождественной функции. ` (lambda f. f (lambda x. x)) (lambda x. x) -> ` (пишем подстановку) ` -> [lambda x. x // f] f ( lambda x. x)) = ` (делаем альфа-преобазование) ` = [(lambda x. x) // f] f (lambda y. y)) = ` (производим бета-редукцию) ` = (lambda x. x) (lambda y. y) -> ` (еще одна подстановка) ` -> [lambda y. y // x] x = lambda y. y `
Бесконечные вычисления. ` (lambda x. x x)(lambda x. x x) -> [lambda x. x x // x]x x = [lambda y. y y // x] x x = ` ` = (lambda y. y y)(lambda y. y y) -> … `
Также небольшой пример, почему нельзя пренебрегать альфа-преобразованием. Рассмотрим выражение ` (lambda x. lambda y. x) y ` . Если не выполнить первый шаг, результатом будет тождественная функция ` lambda y. y ` . Однако, после правильного выполнения подстановки с заменой ` y ` на ` z ` мы получим совсем другой результат ` lambda z. y ` , то есть константную функцию.

Функции нескольких переменных

Для того чтобы использовать функции нескольких переменных добавим в исчисление новую операцию ` add ` : она применяется к двум аргументам и является синтаксическим сахаром для следующих вычислений: ` (lambda x. lambda y. add \ x y) E_1 E_2 -> ([E_1 // x] lambda y. add \ x y) E_2 = ` ` (lambda y. add \ E_1 y) E_2 -> ` ` [E_2 // y] add \ E_1 y = add \ E_1 E_2 `

Как результат мы получили функцию от одного аргумента, которая возвращает еще одну функцию от одного аргумента. Такое преобразование называется каррирование (в честь Хаскелла Карри назвали и язык программирования, и эту операцию), а функция, возвращающая другую, называется функцией высшего порядка.

Порядок вычислений

Бывают ситуации, когда произвести вычисление можно несколькими способами. Например, в выражении ` (lambda y. (lambda x. x) y) E ` сначала можно подставлять ` y ` вместо ` x ` во внутреннее выражение, либо ` E ` вместо ` y ` во внешнее. Теорема Черча-Рассера говорит о том, что в не зависимости от последовательности операций, если вычисление завершится, результат будет одинаков. Тем не менее, эти два подхода принципиально отличаются. Рассмотрим их подробнее:

Вызов по имени. В вычислении всегда в первую очередь применяются самые внешние подстановки. Другими словами, нужно вычислять аргумент уже после подстановки в функцию. Кроме того нельзя использовать редукцию внутри абстракции. Пример: ` (lambda y. (lambda x. x) y) ((lambda u. u) (lambda v. v)) -> ` (применяем редукцию к внешней функции) ` -> (lambda x. x) ((lambda u. u) (lambda v. v)) -> ` (вновь подставляем, не меняя аргумент) ` -> (lambda u. u) (lambda v. v) = lambda v. v `
Вызов по значению. В этом способе вычисление проходит ровно наоборот, то есть сначала вычисляется аргумент функции. При этом редукция внутри абстракции также не применяется. Пример: ` (lambda y. (lambda x. x) y) ((lambda u. u) (lambda v. v)) -> ` (вычисляем аргумент функции) ` -> (lambda y. (lambda x. x) y) (lambda v. v) -> (lambda x. x) (lambda v. v) -> lambda v. v `

Из практических отличий этих двух подходов отметим, то что вычисление по значению более сложно в реализации и редко используется для всех вычислений в неисследовательских языках. Однако, второй подход может не привести к завершению вычисления. Пример: ` (lambda x. lambda z.z) ((lambda y. y y) (lambda u. u u)) ` . При вычислении аргумента мы попадаем в бесконечный цикл, в то время как, проводя вычисления по имени функции, мы сразу получим тождественную функцию.

Кодирование типов

В чистом лямбда-исчислении есть только функции. Однако, программирование трудно представить без различных типов данных. Идея заключается в том, чтобы закодировать поведение конкретных типов в виде функций.

Булевые значения. Поведение типа можно описать как функцию, выбирающую одно из двух. Тогда значения выглядят так: ` true = lambda x. lambda y. x ` и ` false = lambda x. lambda y. y `
Натуральные числа. Каждое натуральное число может быть описано как функция, проитерированная заданное число раз. Выпишем несколько первых чисел ( ` f ` - функция, которую итерируем, а ` s ` - начальное значение):
- ` 0 = lambda f. lambda s. s `
- ` 1 = lambda f. lambda s. f s `
- ` 2 = lambda f. lambda s. f (f s) `
Операции с натуральными числами.
- Следующее число. ` \s\u\c\c \ n = lambda f. lambda s. f (n f s) ` . Аргумент функции - число ` n ` , которое, будучи так же функцией, принимает еще два аргумента: начальное значение и итерируемую функцию. Для числа ` n ` один раз применяем функцию ` f ` и получаем следующее число.
- Сложение. ` add \ n_1 n_2 = n_1 \ \s\u\c\c \ n_2 ` . Для сложения чисел ` n_1 ` и ` n_2 ` нужно одному из слагаемых передать в параметры функцию ` \s\u\c\c `, как итерруемую функцию, и другое слагаемое, как начальное значение. В результате мы увеличим заданное число на единицу необходимое число раз.
- Умножение. ` \m\u\l\t \ n_1 n_2 = n_1 (add \ n_2) 0 ` . В роли итерируемой функции для множителя ` n_1 ` выступает функция ` \s\u\c\c ` с аргументом ` n_2 ` , а в роли начального значения уже определенное число ` 0 ` . То есть мы определяем умножение как прибавление ` n_2 ` к нулю ` n_1` раз.

Аналогично, с помощью лямбда-исчисления можно выразить любые конструкции языков программирования, такие как циклы, ветвления, списки и тд.

Заключение

Лямбда-исчисление - очень мощная система, которая позволяет писать любые программы. Однако, непосредственно программирование на лямбда-исчислении получается черезчур громоздким и неудобным. Тем не менее, чистое лямбда-исчисление предназначено вовсе не для программирования на нем, а для изучения существующих и создания новых языков программирования. А следующим шагом на пути к типовым функциональным языкам является типизированное лямбда-исчисление - расширение чистого исчисления типовыми метками.

Элементы λ -матрицы — это многочлены вида

где — коэффициенты; λ -матрицы тождественно равны нулю, сводится к числовой нулевой матрице. Поэтому нулевые λ -матрицы далее не рассматриваются.

Любую λ -матрицу n-го порядка можно представить в виде многочлена с матричными коэффициентами :

Две λ -матрицы и называются равными , если они имеют одинаковый порядок и равные соответствующие элементы:

Пример 7.1. Представить λ -матрицу в виде многочлена с матричными коэффициентами.

Решение. Данная λ -матрица 2-го порядка , наибольшая из степеней многочленов-элементов матрицы равна 3 . Применяя линейные операции над матрицами, получаем

Полученный многочлен не является регулярным, так как определитель старшего коэффициента равен нулю: .

Операции над многочленными λ -матрицами

Все операции, определенные для числовых матриц, переносятся на λ -матрицы.

Пусть и — λ -матрицы n-го порядка:

Суммой λ -матриц и называется матрица n-го порядка, элементы которой вычисляются по формуле:

При этом сумма может быть представлена в виде многочлена с матричными коэффициентами, степень которого не превосходит наибольшей из степеней слагаемых:

Произведением λ -матрицы на многочлен называется λ -матрица того же порядка, что и , элементы которой вычисляются по формуле

степень которого равна сумме степеней множителей.

В частном случае, когда многочлен тождественно равен постоянной , получаем операцию умножения λ -матрицы на число .

Операция вычитания λ -матриц и определяется как сложение матрицы с матрицей

называют произведением λ -матриц и и обозначают . Произведение λ -матриц можно представить в виде многочлена с матричными коэффициентами, степень которого не превышает суммы степеней множителей:

Транспонированной для λ -матрицы называется λ -матрица , элементы которой вычисляются по формуле

Она обозначается , получаем представление транспонированной λ -матрицы в виде многочлена

Пример 7.2. Даны λ -матрицы и многочлен . Найти и .

Найдем по определению сумму и представим ее как многочлен с матричными коэффициентами

Найдем по определению произведение и представим его в виде многочлена с матричными коэффициентами

Заметим, что степень произведения равна сумме степеней множителей.

Найдем по определению произведение и представим его в виде многочлена с матричными коэффициентами:

В данном случае степень произведения оказалась равной сумме степеней множителей.

Найдем транспонированную λ -матрицу .

Для нахождения определителя λ -матрицы используются те же правила и свойства, что и для числовых матриц, поскольку λ -матрица при фиксированном значении λ -матрицы, ее миноры и алгебраические дополнения представляют собой многочлены переменной Рангом λ -матрицы называется максимальный порядок минора, не равного тождественно нулю, т.е. , если в матрице имеется отличный от нуля минор r-го порядка, а все миноры большего порядка тождественно равны нулю или не существуют.

Присоединенная λ -матрица , транспонированная для матрицы, составленной из алгебраических дополнений элементов матрицы , представляет собой λ -матрицу, причем, как и ранее, справедливо равенство

Действительно, докажем, что , используя пункт 2 замечаний 7.1. Пусть степени левой и правой частей не превосходят различных чисел . Для любого из них имеет место равенство

справедливое для числовых матриц. Следовательно, λ -матрицы в левой и правой частях доказываемого равенства совпадают. Аналогично можно доказать равенство .

Обратной для квадратной λ -матрицы называется λ -матрица , если

Матрица , для которой существует обратная , называется обратимой.

Пример 7.3. Для λ -матрицы найти обратную λ -матрицу.

Решение. Вычислим определитель данной матрицы

Аналогично определяется деление λ -матрицы справа на . Частные и остатки при делении слева и справа в общем случае не совпадают: . При делении с остатком левое частное умножается слева на двучлен , а правое частное — справа.

Многочлен с матричными коэффициентами можно записать двумя способами

которые, разумеется, при любом значении , то получим, в общем случае, разные матрицы:

которые называются, соответственно, правым и левым значениями многочлена при подстановке матрицы матричные коэффициенты многочлена умножаются справа на матрицу — слева.

Подставляя в равенства и вместо переменной и .

Пример 7.4. Разделить λ -матрицу на матрицу , где .

Решение. Запишем λ -матрицу как многочлен второй степени с матричными коэффициентами:

Разделим слева на , повторяя, по существу, алгоритм деления "уголком". Прибавляя к многочлен , получаем λ -матрицу первой степени:

где — левое частное, а — левый остаток.

Разделим справа на . Прибавляя к многочлен , получаем λ -матрицу первой степени , где . Затем к многочлену и получаем числовую матрицу . Выполнив эти действия, имеем

где — правое частное, — правый остаток.

Для проверки полученных результатов воспользуемся теоремой 7.2. Вычислим и , подставив вместо переменной

1. Выясним связь операции транспонирования с вычислением правых и левых значений λ -матрицы. Пусть

Подставляя в эти многочлены вместо аргумента

Транспонируя матрицу , получаем . Следовательно, .

2. Если λ -матрица симметрическая: , то . Если, кроме того, матрица λ -матрицы совпадают: .

3. Если — обратимая λ -матрица, то ее остаток от деления на линейный двучлен также обратимая числовая матрица. В самом деле, пусть , где — правое значение многочлена при подстановке матрицы справа на , получим . Подставим вместо . Следовательно, правый остаток — обратимая числовая матрица. Для левого остатка аналогично получаем , т.е. левый остаток — обратимая числовая матрица.

λ-матрица — квадратная матрица, элементами которой являются многочлены над некоторым числовым полем. Если имеется некоторый элемент матрицы, который является многочленом степени l, и нет элементов матрицы степени большей чем l, то l — степень λ-матрицы.

, (1)

Используя обычные операции над матрицами, любую λ-матрицу можно представить в виде:

(2)

В случае если определитель матрицы отличен от нуля, то λ-матрица называется регулярной.

(3)

Теорема о приведении λ-матрицы к каноническому виду

Всякая λ-матрица эквивалентна некоторой канонической -матрице, то есть она приводится элементарными преобразованиями к каноническому виду.

Будем доказывать эту теорему методом математической индукции. Действительно, при n=1 будет

(4)

Если , то наша матрица уже каноническая. Если же , то достаточно разделить многочлен на его старший коэффициент – это будет элементарное преобразование матрицы – и мы получим каноническую матрицу.

Пусть теорема уже доказана для λ-матриц порядка . Рассмотрим произвольную λ-матрицу порядкаn. Если она нулевая, то уже является канонической. Поэтому будем считать, что среди элементов матрицы имеются ненулевые.

Переставляя строки и столбцы матрицы , можно перевести один из ненулевых элементов в левый верхний угол. Таким образом, среди λ-матриц, эквивалентных матрице , имеются такие, в левом верхнем углу которых стоит ненулевой многочлен. Рассмотрим все такие матрицы. Можно найти среди всех λ-матриц, эквивалентных матрице и имеющих ненулевой элемент в левом верхнем углу, одну из таких, что многочлен, стоящий в её левом верхнем углу, имеет наименьшую возможную степень. Деля первую строку этой матрицы на старший коэффициент указанного многочлена, мы получим такую λ-матрицу, эквивалентную матрице ,

, (5)

что , старший коэффициент этого многочлена равен 1.

Докажем, что все элементы первой строки и первого столбца полученной матрицы нацело делятся на . Пусть для

, (6)

где степень меньше степени , если отлично от нуля. Тогда, вычитая изj-го столбца матрицы первый столбец, умноженный на , а затем переставляя первый иj-й столбцы, мы придём к матрице, эквивалентной матрице , в левом верхнем углу которой стоит многочлен , то есть многочлен меньшей степени, чем , что противоречит выбору этого многочлена. Отсюда следует , что и требовалось доказать.

Вычитая теперь из j-го столбца первый столбец, умноженный на , заменим элемент нулём. Делая такие преобразования дляj=2, 3, … , n, заменим нулями все элементы . Аналогично заменяются нулями все элементы Следовательно, мы придём к такой матрице, эквивалентной матрице , в левом верхнем углу которой стоит многочлен , а все остальные элементы первой строки и первого столбца равны нулю,

(7)

По индуктивному предположению, матрица (n-1)-го порядка, стоящая в правом нижнем углу полученной матрицы (7), элементарными преобразованиями приводится к каноническому виду:

(8)

Совершив эти же преобразования, мы получим, что

(9)

Теорема об эквивалентности двух λ-матриц

Всякая λ-матрица эквивалентна лишь одной канонической матрице.

Пусть дана произвольная λ-матрица А(λ) порядка n. Фиксируем некоторое натуральное число k, ,и рассмотрим все миноры k-го порядка матрицы А(λ). Вычисляя эти миноры, получим конечную систему многочленов от λ; наибольший общий делитель этой системы многочленов, взятый со старшим коэффициентом 1, обозначим через .

(10)

однозначно определяемые самой матрицей А(λ). При этом есть наибольший общий делитель всех элементов матрицы А(λ), взятый с коэффициентом 1, а равен определителю матрицы А(λ), делённому на его старший коэффициент. Если матрица А(λ) имеет ранг r, то

, (11)

в то время как все остальные многочлены системы (10) отличны от 0.

Наибольший общий делитель всех миноров k-го порядка λ-матрицы А(λ), k=1, 2, …, n, не меняется при выполнении в матрице А(λ) элементарных преобразований.

Пусть к i-ой строке матрицы А(λ) прибавляется её j-я строка, j≠i, умноженная на многочлен φ(λ); получающуюся матрицу обозначим через , а наибольший общий делитель всех её миноров k-го порядка, взятый со старшим коэффициентом 1 – через .

Ясно, что не будут меняться те миноры, через которые i-я строка не проходит. Не меняются и те миноры, через которые проходят как i-я, так и j-я строки, так как определитель не меняется от прибавления к одной его строке кратного другой его строки. Возьмём любой из тех миноров k-го порядка, через которые проходит i-я строка, но не проходит j-я; обозначим его через M. Соответствующий минор матрицы можно представить, как сумму минораМ и умноженного на φ(λ) минора М’ матрицы А(λ), получающегося из минора М заменой элементов i-ой строки матрицы А(λ) соответствующими элементами её j-ой строки. Так как М и М’ делятся на то иМ+ φ(λ)М’ будет делиться на . Отсюда следует, что все миноры матрицы нацело делятся на , а поэтому и делится на . Так как для рассматриваемого элементарного преобразования существует обратное того же типа, то и делится на . Если учесть, что старшие коэффициенты обоих многочленов равны 1, то , что и требовалось доказать.

a_<11>(\lambda) & a_<12>(\lambda) & \cdots & a_<1n>(\lambda) \\ a_<21>(\lambda) & a_<22>(\lambda) & \cdots & a_<2n>(\lambda) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_(\lambda) & a_(\lambda) & \cdots & a_(\lambda) \end, a_(\lambda)=a_^<(l)>\lambda^l+a_^<(l-1)>\lambda^+\cdots+a_^<(1)>\lambda+a_^<(0)>." width="" height="" />

Используя обычные операции над матрицами любую λ-матрицу можно представить в виде:

\lambda^+\cdots+A_1\lambda+A_0." width="" height="" />

В случае если определитель матрицы отличен от нуля, λ-матрица называется регулярной.

\lambda^4+\lambda^2+\lambda-1 & \lambda^3+\lambda^2+\lambda+2 \\ 2\lambda^3-\lambda & 2\lambda^2+2\lambda \end= \begin 1 & 0 \\ 0 & 0 \end\lambda^4+ \begin 0 & 1 \\ 2 & 0 \end\lambda^3+ \begin 1 & 1 \\ 0 & 2 \end\lambda^2+ \begin 1 & 1 \\ -1 & 2 \end\lambda+ \begin -1 & 2 \\ 0 & 0 \end." width="" height="" />

Отметим, что матрица нерегулярна.

Содержание

Алгебра λ-матриц

Сложение и умножение λ-матриц

λ-матрицы одного и того же порядка можно складывать и перемножать между собой обычным образом и в результате получится другая λ-матрица.

Пусть и — λ-матрицы порядков и соответственно, и , тогда

\lambda^+\cdots+A_1\lambda+A_0" width="" height="" />
; \lambda^+\cdots+B_1\lambda+B_0" width="" height="" />
,

где хотя-бы одна из матриц — ненулевая, имеем

+B_)\lambda^+\cdots+(A_1+B_1)\lambda+(A_0+B_0)" width="" height="" />
; +(A_B_+A_B_)\lambda^<2k-1>+\cdots+(A_1B_0+A_0B_1)\lambda+(A_0B_0)" width="" height="" />
;

Деление λ-матриц

Предположим, что — регулярная λ-матрица и что существуют такие λ-матрицы с или со степенью , меньшей степени , что

В этом случае называется правым частным при делении на , а — правым остатком. Подобно этому и — левое частное и левый остаток при делении на , если

и или степень меньше степени .

λ-матрицы с матричными аргументами

Вследствие некоммутативности умножения матриц, в отличие от свойств обычного многочлена для λ-матрицы нельзя записать равенство, аналогичное

\lambda^+\cdots+a_1\lambda+a_0=\lambda^la_l+\lambda^a_+\cdots+\lambda a_1+a_0" width="" height="" />
,

поэтому мы определяем правое значение λ-матрицы в матрице как

B^+\cdots+A_1B+A_0" width="" height="" />
, если \lambda^+\cdots+A_1\lambda+A_0" width="" height="" />
;

и левое значение как

A_+\cdots+B A_1+A_0" width="" height="" />
,

и в общем случае .

Теорема Безу для λ-матриц

Для λ-матриц существует свойство, аналогичное теореме Безу для многочленов:

Разложение на множители

E+\lambda^B+\cdots+\lambda B^+B^)(\lambda E-B)" width="" height="" />

может быть непосредственно проверено выполнением раскрытия скобок. Умножим обе части этого равенства на " width="" height="" />
слева и сложим все полученные равенства при . Правая часть полученного равенства будет иметь вид , где — некоторая λ-матрица.

Левая часть равенства

^l\lambda^jA_-\sum_^lA_B^j=\sum_^l\lambda^jA_-\sum_^lA_B^j=A(\lambda)-A(B)" width="" height="" />
.

Результат теперь следует из единственности правого остатка.

Утверждение для левого остатка получается обращением множителей в исходном разложении, умножением полученного на " width="" height="" />
справа и суммированием.

Читайте также: