D sin фи k лямбда вывод формулы
Опубликовано: 18.05.2024
Важную роль в прикладной оптике играют явления дифракции на отверстиях в форме щели с параллельными краями. При этом использование дифракции света на одной щели в практических целях затруднено из-за слабой видимости дифракционной картины. Широко используются дифракционные решетки.
Дифракционная решетка — спектральный прибор, служащий для разложения света в спектр и измерения длины волны. Различают прозрачные и отражающие решетки. Дифракционная решетка представляет собой совокупность большого числа параллельных штрихов одинаковой формы, нанесенных на плоскую или вогнутую полированную поверхность на одинаковом расстоянии друг от друга.
В прозрачной плоской дифракционной решетке (рис. 17.22) ширина прозрачного штриха равна а, ширина непрозрачного промежутка — Ь. Величина \(d = a + b = \frac<1>
Пусть плоская монохроматическая волна падает нормально к плоскости решетки (рис. 17.22). По принципу Гюйгенса—Френеля каждая щель является источником вторичных волн, способных интерферировать друг с другом. Получившуюся дифракционную картину можно наблюдать в фокальной плоскости линзы, на которую падает дифрагированный пучок.
Допустим, что свет дифрагирует на щелях под углом \(\varphi.\) Так как щели находятся друг от друга на одинаковых расстояниях, то разности хода лучей, идущих от двух соседних щелей, для данного направления \(\varphi\) будут одинаковыми в пределах всей дифракционной решетки:
\(\Delta = CF = (a+b)\sin \varphi = d \sin \varphi .\)
В тех направлениях, для которых разность хода равна четному числу полуволн, наблюдается интерференционный максимум. Наоборот, для тех направлений, где разность хода равна нечетному числу полуволн, наблюдается интерференционный минимум. Таким образом, в направлениях, для которых углы \(\varphi\) удовлетворяют условию
\(d \sin \varphi = m \lambda (m = 0,1,2, \ldots),\)
наблюдаются главные максимумы дифракционной картины. Эту формулу часто называют формулой дифракционной решетки. В ней m называется порядком главного максимума. Между главными максимумами располагается (N - 2) слабых побочных максимумов, но на фоне ярких главных максимумов они практически не видны. При увеличении числа штрихов N (шелей) главные максимумы, оставаясь на прежних местах, становятся все более резкими.
При наблюдении дифракции в немонохроматическом (белом) свете все главные максимумы, кроме нулевого центрального максимума, окрашены. Это объясняется тем, что, как видно из формулы \(\sin \varphi = \frac
Ширина спектра зависит от постоянной решетки и увеличивается при уменьшении d. Максимальный порядок спектра определяется из условия \(
Литература
Аксенович Л. А. Физика в средней школе: Теория. Задания. Тесты: Учеб. пособие для учреждений, обеспечивающих получение общ. сред, образования / Л. А. Аксенович, Н.Н.Ракина, К. С. Фарино; Под ред. К. С. Фарино. — Мн.: Адукацыя i выхаванне, 2004. — С. 517-518.
Дифракция — огибание волнами препятствий, встречающихся на их пути, или отклонение распространения волн вблизи препятствий от направления, предписанного законами геометрической оптики.
Явление дифракции световых волн имеет некоторые особенности возникновения и наблюдения:
- явление дифракции имеет место, если длина световой волны λ достаточно мала по сравнению с размерами препятствий d , встречающихся на пути света:
- дифракционная картина (т.е. отклонение распределения освещенности на экране от предсказанного геометрической оптикой) наблюдается только на расстояниях
Объяснение дифракционных явлений дает принцип Гюйгенса — Френеля , согласно которому:
1) любая точка волновой поверхности рассматривается как источник вторичных сферических волн;
2) световые колебания в некоторой точке наблюдения есть результат сложения колебаний, вызванных вторичными волнами (с учетом их амплитуд и фаз);
3) результат сложения (усиление или ослабление света, светлая или темная область) в определенной точке пространства зависит только от амплитуд и фаз вторичных волн и не зависит от стандартных предсказаний геометрической оптики (тень или свет);
4) светлая область может оказаться в области геометрической тени (создается иллюзия огибания светом препятствий), а темная — там, где пролегает прямолинейный путь света.
Большое практическое значение имеет дифракционная картина, наблюдаемая при прохождении света через одномерную дифракционную решетку — систему параллельных щелей равной ширины, лежащих в одной плоскости и разделенных равными по ширине непрозрачными промежутками.
На рис. 11.43 схематично показано формирование дифракционной картины, полученной на некотором экране при прохождении света через дифракционную решетку:
- период ( постоянная ) дифракционной решетки d есть сумма:
где a — ширина щели (прозрачного промежутка); b — ширина непрозрачного промежутка;
- угол дифракции φ — угол отклонения света от прямолинейного направления;
- оптическая разность хода двух лучей, идущих от соседних щелей:
Дифракционная картина , образованная дифракционной решеткой, есть результат взаимной интерференции волн, идущих от всех щелей.
Наблюдаемая на экране дифракционная картина имеет следующий вид:
- в центре экрана расположен главный максимум интенсивности (белого цвета);
- по обе стороны, симметрично от главного максимума, — ряд окрашенных максимумов меньшей интенсивности , разделенных дифракционными минимумами.
Световая энергия в дифракционной картине распределена следующим образом:
- ее основная часть сосредоточена в центральном максимуме;
- остальные максимумы имеют существенно меньшую интенсивность.
Яркость дифракционной картины и количество наблюдаемых максимумов на экране зависит от ширины щели:
- сужение щели приводит к уменьшению яркости картины дифракции и уменьшению количества наблюдаемых максимумов;
- расширение щели вызывает увеличение яркости картины дифракции и увеличение количества наблюдаемых максимумов.
Дифракционная решетка разлагает белый свет в спектр :
- центральный максимум является белым, т.е. не окрашен;
- первые максимумы (ближайшие к центральному максимуму) получаются фиолетовыми ;
- вторые — синими и т.п.
Наименьшее отклонение от прямолинейного распространения имеют световые волны с наименьшей длиной волны (фиолетовый свет), наибольшее — с наибольшей длиной волны (красный свет).
Дифракционные максимумы наблюдаются при выполнении условия
где d sin φ = Δ — оптическая разность хода двух лучей, идущих от соседних щелей; m = 0 соответствует центральному максимуму интенсивности; m = ±1 — первым максимумам; m = ±2 — вторым максимумам; m = ±3 — третьим максимумам и т.п.
Пример 24. При нормальном освещении дифракционной решетки светом с длиной волны 500 нм максимум второго порядка образуется под углом 30°. Найти длину волны света, при освещении которым той же дифракционной решетки максимум третьего порядка образуется под углом 45°.
Решение . При нормальном падении плоской монохроматической световой волны на дифракционную решетку на экране формируется дифракционная картина, максимумы которой определяются условием:
- в первом случае (λ = 500 нм) —
d sin φ 1 = m 1 λ 1 ,
где d — период дифракционной решетки; φ 1 — угол дифракции для максимума второго порядка, φ 1 = 30°; m 1 — номер дифракционного максимума, m 1 = 2;
- во втором случае (λ 2 — искомая длина волны) —
d sin φ 2 = m 2 λ 2 ,
где φ 2 — угол дифракции для максимума третьего порядка, φ 2 = 45°; m 2 — номер дифракционного максимума, m 2 = 3.
Деление уравнений дает:
sin φ 1 sin φ 2 = m 1 λ 1 m 2 λ 2 .
Выразим отсюда искомую величину
λ 2 = m 1 λ 1 sin φ 2 m 2 sin φ 1
λ 2 = 2 ⋅ 500 ⋅ 10 − 9 sin 45 ° 3 ⋅ sin 30 ° = 470 ⋅ 10 − 9 м = 470 нм .
Искомая длина волны составляет 470 нм.
Условие дифракционных максимумов. Особенности его применения к решению задач
При решении задач о дифракционных решетках пользуются условием дифракционных максимумов
где d — период дифракционной решетки; φ — угол дифракции; m = 0 соответствует центральному максимуму; m = ±1 — первым максимумам; m = ±2 — вторым максимумам; m = ±3 — третьим максимумам; λ — длина волны падающего на решетку света.
При этом следует помнить, что:
- угол дифракции φ совпадает с углом между направлениями на центральный максимум и на максимум с номером m (рис. 11.44);
- угол между направлениями на два максимума одного порядка (например, угол θ между первыми максимумами, вторыми и т.п.) равен удвоенному углу дифракции (см. рис. 11.44):
Угол дифракции φ зависит от длины волны падающего света. Он имеет:
- минимальное значение для световых волн, длина волны которых соответствует фиолетовому свету;
- максимальное значение для световых волн, длина волны которых соответствует красному свету.
При нахождении максимального порядка дифракционного спектра необходимо учитывать следующее:
- максимальный угол отклонения лучей дифракционной решеткой равен
- вычисления следует производить по формуле
где d — период дифракционной решетки;
- после вычисления m max по приведенной выше формуле нужно оставить целую часть полученного числа.
При нахождении максимального количества дифракционных максимумов, которое можно наблюдать на экране с помощью данной дифракционной решетки, необходимо:
- определить максимальный порядок дифракционного спектра m max по соответствующему алгоритму, т.е. рассчитать целую часть выражения
где d — период дифракционной решетки; λ — длина световой волны;
- вычислить искомое количество дифракционных максимумов по формуле
где m max — целая часть отношения d /λ.
Следует отметить, что данная формула учитывает одинаковое количество дифракционных максимумов по обе стороны от центрального и еще один максимум — центральный.
Иногда в задачах вместо периода дифракционной решетки задано количество штрихов на единицу длины .
Для определения периода дифракционной решетки в этом случае пользуются формулой
где N — число штрихов, нанесенных на участок дифракционной решетки длиной L .
Пример 25. На дифракционную решетку с периодом 2,50 мкм падает нормально плоская монохроматическая волна. Найти количество дифракционных максимумов, если длина световой волны составляет 700 нм.
Решение . Дифракционная картина, образованная дифракционной решеткой, имеет следующий вид:
- в центре экрана расположен главный максимум интенсивности;
- по обе стороны от него расположены несколько дифракционных максимумов, разделенных дифракционными минимумами.
Максимальный порядок дифракционного максимума, который можно увидеть с помощью данной решетки, определяется условием
где d — период дифракционной решетки, d = 2,50 мкм; λ — длина волны падающего на решетку света.
Расчет дает значение
m = d λ = 2,50 ⋅ 10 − 6 700 ⋅ 10 − 9 = 3,57 .
Для определения максимального порядка следует взять целую часть от расчетного значения:
Следовательно, по обе стороны от центрального расположено по три максимума.
Количество дифракционных максимумов на экране рассчитаем по формуле
k = 2 m max + 1 = 2 ⋅ 3 + 1 = 7.
Дифракционный спектр содержит 7 максимумов.
Пример 26. Дифракционная решетка с периодом 10 мкм освещается белым светом. Свет падает на решетку нормально, а длины волн белого света заключены в интервале от 0,38 до 0,76 мкм. На расстоянии 3,1 м от решетки расположен экран. Определить ширину спектра первого порядка.
Решение . Световые волны с различными длинами волн отклоняются дифракционной решеткой по-разному. Угол дифракции первого порядка ( m = 1) определяется условиями:
- для длины волны λ 1 = 0,38 мкм —
где d — период дифракционной решетки, d = 10 мкм; φ 1 — угол дифракции для максимума первого порядка при освещении решетки светом с длиной волны λ 1 ;
- для длины волны λ 2 = 0,76 мкм —
где φ 2 — угол дифракции для максимума первого порядка при освещении решетки светом с длиной волны λ 2 .
Ширина спектра первого порядка — расстояние между указанными максимумами.
На рисунке показаны расстояния x 1 и x 2 :
- x 1 представляет собой расстояние от центра экрана (центрального максимума) до максимума первого порядка для длины волны λ 1 ;
- x 2 представляет собой расстояние от центра экрана (центрального максимума) до максимума первого порядка для длины волны λ 2 .
Ширина спектра первого порядка является разностью указанных расстояний:
Из построения следует, что
x 1 = L tg φ 1 и x 2 = L tg φ 2 ,
где L — расстояние от дифракционной решетки до экрана, L = 3,1 м.
Следовательно, искомая разность имеет вид
Δ x = L (tg φ 2 − tg φ 1 ).
Тангенсы углов дифракции связаны с синусами указанных углов формулой
tg φ = sin φ 1 − sin 2 φ .
Δ x = L ( sin φ 2 1 − sin 2 φ 2 − sin φ 1 1 − sin 2 φ 1 ) .
Синусы углов дифракции найдем из условий дифракционных максимумов первого порядка:
- для длины волны λ 1 —
- для длины волны λ 2 —
Подставим записанные отношения в формулу для расчета ширины спектра
Δ x = L ( λ 2 / d 1 − ( λ 2 / d ) 2 − λ 1 / d 1 − ( λ 1 / d ) 2 )
Δ x = 3,1 ⋅ ( 0,76 / 10 1 − ( 0,76 / 10 ) 2 − 0,38 / 10 1 − ( 0,38 / 10 ) 2 ) = 12 ⋅ 10 − 2 м = 12 см .
Одномерная дифракционная решетка, состоит из параллельных щелей одинаковой ширины, которые лежат в одной плоскости, разделяемых одинаковыми по ширине непрозрачными для света промежутками. Лучшими считаются отражательные дифракционные решетки. Они состоят из совокупности участков, отражающих свет и участков, которые свет рассеивают. Данные решетки представляют собой отшлифованные металлические пластины, на которые рассеивающие свет штрихи нанесены резцом.
Характеристикой дифракционной решетки служит ее период. Периодом дифракционной решетки (d) (ее постоянной) называют величину, равную:
Дифракция на одномерной дифракционной решетке
Допустим, что перпендикулярно к плоскости дифракционной решетки падает световая волна с длиной . Так как щели у решетки расположены на равных расстояниях друг от друга, то разности хода лучей ( ), идущих от двух соседних щелей, для направления будут одинаковы для всей рассматриваемой дифракционной решетки:
Главные минимумы интенсивности наблюдаются в направлениях, определенных условием:
Кроме главных минимумов, в результате взаимной интерференции лучей света, которые идут от двух щелей, в некоторых направлениях лучи гасят друг друга. В результате возникают дополнительные минимумы интенсивности. Они появляются в тех направлениях, где разность хода лучей составляют нечетное число полуволн. Условием дополнительных минимумов является формула:
Условием главных максимумов для дифракционной решетки является:
Величина синуса не может быть больше единицы, то количество главных максимумов:
По условию задачи Так как угол отклонения лучей можно считать малым ( ), то примем, что:
Из рис.1 следует, что:
Подставим в формулу (1.1) выражение (1.3) и учтем, что , получим:
Из (1.4) выразим период решетки:
| Задание | Используя условия примера 1, и результат решения, найдите количество максимумов, которое даст рассматриваемая решетка. |
| Решение | Для того чтобы определить максимальный угол отклонения лучей света в нашей задаче найдем число максимумов, которое может дать наша дифракционная решетка. Для этого используем формулу: |
где положим, что при . Тогда, получим:
Следует учесть при вычислениях, что число обязательно целое и синус угла обязательно меньше единицы. При этом общее количество максимумов картины дифракции справа и слава от центрального максимума одинаково и равно:
Необходимо учесть центральный максимум, поэтому суммарное число максимумов равно:
Дифракция - явление, которое можно рассматривать как отклонение от законов геометрической оптики при распространении волн. Первоначально понятие дифракции относилось только к огибанию волнами препятствий, но в современном, более широком толковании, с дифракцией связывают весьма широкий круг явлений, возникающих при распространении волн в неоднородных средах, а также при распространении ограниченных в пространстве волн. Дифракция тесно связана с явлением интерференции. Более того, само явление дифракции зачастую трактуют как частный случай интерференции (интерференция вторичных волн).
Дифракция волн наблюдается независимо от их природы и может проявляться:
в преобразовании пространственной структуры волн. В одних случаях такое преобразование можно рассматривать как «огибание» волнами препятствий, в других случаях — как расширение угла распространения волновых пучков или их отклонение в определённом направлении;
в разложении волн по их частотному спектру;
в преобразовании поляризации волн;
в изменении фазовой структуры волн.
Дифракция Френеля (дифракция в сходящихся лучах) – это дифракция, осуществляемая в случае, когда на препятствие падает сферическая волна, а дифракционная картина наблюдается на конечном расстоянии от препятствия, вызвавшего дифракцию.
Дифракция на круглом отверстии.
Сферическая волна, распространяющаяся из точечного источника, встречает на своем пути препятствие с круглым отверстием. Дифракционная картина наблюдается на экране, параллельном плоскости отверстия и находящемся от него на расстоянии b. Амплитуда света в точке P экрана будет равна A=A1/2 (+-) A(m)/2
знак «плюс» берется для случая, когда отверстие открывает нечетное число m зон Френеля, а знак «минус» – для четного m. Дифракционная картина будет иметь вид чередующихся темных и светлых колец с центром в точке Р.
Дифракция на диске.
Сферическая волна, распространяющаяся из точечного источника, встречает на своем пути диск диаметром d. Диск закрывает первые m зон Френеля. Амплитуда колебания в точке Р равна A=A(m+1)/2
В точке Р в центре геометрической тени всегда наблюдается
интерференционный максимум, называемый пятном Пуассона, соответствующий половине действия только первой (m + 1) открытой зоны Френеля, и окруженный концентрическими с ним темными и светлыми кольцами.
Дифракция Фраунгофера. Дифракция на щели
Дифракция Фраунгофера (или дифракция плоских световых волн, или дифракция в параллельных лучах) наблюдается в том случае, когда источник света и точка наблюдения бесконечно удалены от препятствия, вызвавшего дифракцию.
Для наблюдения дифракции Фраунгофера необходимо точечный источник поместить в фокусе собирающей линзы, а дифракционную картину можно исследовать в фокальной плоскости второй собирающей линзы, установленной за препятствием.
Дифракция на одной щели. Пусть плоская монохроматическая волна с длиной волны лямбда нормально падает на очень длинную щель шириной b(длина щели l >>b). Плоскость щели и экран Э параллельны.
Вследствие дифракции на узкой щели на экране наблюдается система интерференционных максимумов – размытых изображений источника света, разделенных темными промежутками интерференционных минимумов. Оптическая разность хода между волнами, исходящими от крайних точек щели равна треугольник=b*sin(фи)
Результат интерференции света в точке Р (побочный фокус) определяется тем, сколько зон Френеля укладывается в щели.
1) если число m зон Френеля четное, то условие дифракционного минимума (полная темнота) имеет вид
39. 2) если число m зон Френеля нечетное, то условие дифракционного максимума, соответствующего действию одной некомпенсированной зоны Френеля, записывается так:
Дифракционная решетка
Дифракционная решетка представляет собой совокупность большого числа N одинаковых по ширине и параллельных друг другу щелей, разделенных непрозрачными промежутками, также одинаковыми по ширине:
b - ширина щели;
а - ширина непрозрачного участка;
d = a + b - период решетки.
(1)
В направлениях, в которых наблюдается минимум для одной щели, будут минимумы и в случае N щелей, т.е. условие главных минимумов дифракционной решетки будет аналогично условию минимумов для щели:
40. (2)
- условие главных минимумов.
(3)
Эти максимумы будут расположены симметрично относительно центрального (нулевого k = 0) максимума.
Условие дополнительных максимумов:
Между главными максимума будут располагаться (N-1) дополнительных минимумов.
Условие дополнительных минимумов:
Таким образом, дифракционная картина, при дифракции на дифракционной решетке зависит от N и от отношения d/b.
Одними из известных эффектов, которые подтверждают волновую природу света, являются дифракция и интерференция. Главная область их применения - спектроскопия, в которой для анализа спектрального состава электромагнитного излучения используют дифракционные решетки. Формула, которая описывает положение главных максимумов, даваемых этой решеткой, рассматривается в данной статье.
В чем заключаются явления дифракции и интерференции?
Прежде чем рассматривать вывод формулы дифракционной решетки, следует познакомиться с явлениями, благодаря которым это решетка оказывается полезной, то есть с дифракцией и интерференцией.
Вам будет интересно: Пополняем словарный запас: факир - это.
Дифракция - это процесс изменения движения волнового фронта, когда на своем пути он встречает непрозрачное препятствие, размеры которого сравнимы с длиной волны. Например, если через маленькое отверстие пропустить солнечный свет, то на стене можно наблюдать не маленькую светящуюся точку (что должно было произойти, если бы свет распространялся по прямой линии), а светящееся пятно некоторых размеров. Этот факт свидетельствует о волновой природе света.
Интерференция - еще одно явление, которое характерно исключительно для волн. Его суть заключается в наложении волн друг на друга. Если волновые колебания от нескольких источников согласованы (являются когерентными), тогда можно наблюдать устойчивую картину из чередующихся светлых и темных областей на экране. Минимумы на такой картине объясняются приходом волн в данную точку в противофазе (pi и -pi), а максимумы являются результатом попадания в рассматриваемую точку волн в одной фазе (pi и pi).
Оба описанных явления впервые объяснил англичанин Томас Юнг, когда исследовал дифракцию монохроматического света на двух тонких щелях в 1801 году.
Принцип Гюйгенса-Френеля и приближения дальнего и ближнего полей
Математическое описание явлений дифракции и интерференции является нетривиальной задачей. Нахождение точного ее решения требует выполнение сложных расчетов с привлечением максвелловской теории электромагнитных волн. Тем не менее в 20-е годы XIX века француз Огюстен Френель показал, что, используя представления Гюйгенса о вторичных источниках волн, можно с успехом описывать эти явления. Эта идея привела к формулировке принципа Гюйгенса-Френеля, который в настоящее время лежит в основе вывода всех формул для дифракции на препятствиях произвольной формы.
Тем не менее даже с помощью принципа Гюйгенса-Френеля решить задачу дифракции в общем виде не удается, поэтому при получении формул прибегают к некоторым приближениям. Главным из них является плоский волновой фронт. Именно такая форма волны должна падать на препятствие, чтобы можно было упростить ряд математических выкладок.
Следующее приближение заключается в положении экрана, куда проецируется дифракционная картина, относительно препятствия. Это положение описывается числом Френеля. Оно вычисляется так:
Где a - геометрические размеры препятствия (например, щели или круглого отверстия), λ - длина волны, D - дистанция между экраном и препятствием. Если для конкретного эксперимента F 1, тогда имеет место приближение ближнего поля или дифракция Френеля.
Разница между дифракциями Фраунгофера и Френеля заключается в различных условиях для явления интерференции на маленьком и большом расстояниях от препятствия.
Вывод формулы главных максимумов дифракционной решетки, который будет приведен далее в статье, предполагает рассмотрение дифракции Фраунгофера.
Дифракционная решетка и ее виды
Эта решетка представляет собой пластинку из стекла или прозрачного пластика размером в несколько сантиметров, на которую нанесены непрозрачные штрихи одинаковой толщины. Штрихи расположены на постоянном расстоянии d друг от друга. Это расстояние носит название периода решетки. Две других важных характеристики прибора - это постоянная решетки a и число прозрачных щелей N. Величина a определяет количество щелей на 1 мм длины, поэтому она обратно пропорциональна периоду d.
Существует два типа дифракционных решеток:
- Прозрачная, которая описана выше. Дифракционная картина от такой решетки возникает в результате прохождения через нее волнового фронта.
- Отражающая. Она изготавливается с помощью нанесения маленьких бороздок на гладкую поверхность. Дифракция и интерференция от такой пластинки возникают за счет отражения света от вершин каждой бороздки.
Какой бы ни был тип решетки, идея ее воздействия на волновой фронт заключается в создании периодического возмущения в нем. Это приводит к образованию большого количества когерентных источников, результатом интерференции которых является дифракционная картина на экране.
Основная формула дифракционной решетки
Вывод этой формулы предполагает рассмотрение зависимости интенсивности излучения от угла его падения на экран. В приближении дальнего поля получается следующая формула для интенсивности I(θ):
В формуле ширина щели дифракционной решетки обозначается символом a. Поэтому множитель в круглых скобках отвечает за дифракцию на одной щели. Величина d - это период дифракционной решетки. Формула показывает, что множитель в квадратных скобках, где появляется этот период, описывает интерференцию от совокупности щелей решетки.
Пользуясь приведенной формулой, можно рассчитать значение интенсивности для любого угла падения света.
Если находить значение максимумов интенсивности I(θ), то можно прийти к выводу, что они появляются при условии, что α = m*pi, где m является любым целым числом. Для условия максимумов получаем:
Полученное выражение называется формулой максимумов дифракционной решетки. Числа m - это порядок дифракции.
Другие способы записи основной формулы для решетки
Заметим, что в приведенной в предыдущем пункте формуле присутствует член sin(θ0). Здесь угол θ0 отражает направление падения фронта световой волны относительно плоскости решетки. Когда фронт падает параллельно этой плоскости, то θ0 = 0o. Тогда получаем выражение для максимумов:
Поскольку постоянная решетки a (не путать с шириной щели) обратно пропорциональна величине d, то через постоянную дифракционной решетки формула выше перепишется в виде:
Чтобы не возникало ошибок при подстановке конкретных чисел λ, a и d в эти формулы, следует всегда использовать соответствующие единицы СИ.
Понятие об угловой дисперсии решетки
Будем обозначать эту величину буквой D. Согласно математическому определению, она записывается следующим равенством:
Физический смысл угловой дисперсии D заключается в том, что она показывает, на какой угол dθm сместится максимум для порядка дифракции m, если изменить длину падающей волны на dλ.
Если применить это выражение для уравнения решетки, тогда получится формула:
Дисперсия угловая дифракционной решетки определяется по формуле выше. Видно, что величина D зависит от порядка m и от периода d.
Чем больше дисперсия D, тем выше разрешающая способность данной решетки.
Разрешающая способность решетки
Под разрешающей способностью понимают физическую величину, которая показывает, на какую минимальную величину могут отличаться две длины волны, чтобы их максимумы на дифракционной картине появлялись раздельно.
Разрешающая способность определяется критерием Рэлея. Он гласит: два максимума можно разделить на дифракционной картине, если расстояние между ними оказывается больше полуширины каждого из них. Угловая полуширина максимума для решетки определяется по формуле:
Разрешающая способность решетки в соответствии с критерием Рэлея равна:
Подставляя значения D и Δθ1/2, получаем:
Это и есть формула разрешающей способности дифракционной решетки. Чем больше число штрихов N на пластинке и чем выше порядок дифракции, тем больше разрешающая способность для данной длины волны λ.
Дифракционная решетка в спектроскопии
Выпишем еще раз основное уравнение максимумов для решетки:
Здесь видно, что чем больше длина волны падает на пластинку со штрихами, тем при больших значениях углов будут появляться максимумы на экране. Иными словами, если через пластинку пропустить немонохроматический свет (например, белый), то на экране можно видеть появление цветных максимумов. Начиная от центрального белого максимума (дифракция нулевого порядка), дальше будут появляться максимумы для более коротких волн (фиолетовый, синий), а затем для более длинных (оранжевый, красный).
Другой важный вывод из этой формулы заключается в зависимости угла θm от порядка дифракции. Чем больше m, тем больше значение θm. Это означает, что цветные линии будут сильнее разделены между собой на максимумах для высокого порядка дифракции. Этот факт уже был освящен, когда рассматривалась разрешающая способность решетки (см. предыдущий пункт).
Описанные способности дифракционной решетки позволяют использовать ее для анализа спектров излучения различных светящихся объектов, включая далекие звезды и галактики.
Пример решения задачи
Покажем, как пользоваться формулой дифракционной решетки. Длина волны света, которая падает решетку, равна 550 нм. Необходимо определить угол, при котором появляется дифракция первого порядка, если период d равен 4 мкм.
Угол θ1 легко рассчитать по формуле:
Переводим все данные в единицы СИ и подставляем в это равенство:
θ1 = arcsin(550*10-9/(4*10-6)) = 7,9o.
Если экран будет находиться на расстоянии 1 метр от решетки, то от середины центрального максимума линия первого порядка дифракции для волны 550 нм появится на расстоянии 13,8 см, что соответствует углу 7,9o.
Читайте также: