Газодинамическая функция пи от лямбда
Опубликовано: 15.05.2024
Отношения давлений и плотностей можно выразить с помощью уравнений изоэнтропного процесса (2.33)[1] через температуры. Тогда
Для воздуха (при k = 1,4) формулы, связывающие истинные параметры состояния с параметрами торможения, принимают следующий вид:
Пример расчета с помощью газодинамических функций параметров торможения
В потоке воздуха были измерены:
давление и температура торможения - р*= 143000 н/м 2 , Т* = 324 о К,
статическое давление - р = 101300 н/м 2 (нормальное атмосферное или барометрическое давление В = 760 мм рт ст).
Определить w (скорость потока).
1) Вычисляем .
2) Определяем критическую скорость
3) По таблицам газодинамических функций для воздуха (k=1,4)
Как видно из приведенного примера, весь расчет сводится к очень простым операциям.
Таблицы газодинамических функций были особенно эффективны при массовых расчетах в “докомпьютерную” эпоху.
В практических расчетах площадь поперечного сечения потока F и плотность тока рw удобно относить к соответствующим величинам, взятым в критическом сечении. Если, например, рассматривать сопло Лаваля, то уравнение неразрывности можно записать, приравняв расход в любом сечении расходу в критическом сечении
в следующем виде:
Действительно, принимая во внимание формулы (2.61) и (2.45)[2], можно написать
По формуле (2.80) легко определяются три характерные точки:
Промежуточные значения получаются численным расчетом. График зависимости приведенного расхода от приведенной скорости представлен на рис. 23.
Принимая во внимание формулы (2.79), (2.45), (2.46), а также уравнение состояния совершенного газа (p=rRT), можно предыдущее выражение представить в следующем виде:
для данного газа постоянна.
Для воздуха она равна ( k = 1,4; R = 287,4 дж/кг град) — m = 0,04037.
Окончательно формула расхода приобретает вид
Часто известной величиной бывает не р*, а статическое давление р.
Пример определения проходных сечений сопла Лаваля с помощью таблиц газодинамических функций.
расход газа mсек = 10 кг/сек;
физичеcкие константы воздуха k=1,4; R=287,4 дж/кг град,
параметры перед соплом и за ним:
скорость истечения w2,
площадь поперечного сечения в горле FГ,
площадь поперечного сечения на выходе F2.
Рассчитывается идеальный случай — энергоизолированное изоэнтропное течение, в котором соблюдаются условия постоянства давления и температуры заторможенного потока:
Газодинамические функции – это математические выражения, показывающие характеристики одномерного потока газов (связь между параметрами состояния), характеристики плотности потока, импульса силы и количества движения потока при изменении располагаемого перепада давлений на входе и выходе из рассматриваемого канала.
Для расчета применяют относительные скорости движения:
- скорости звука, т.е. скорости распространения сигнала в упругой среде газов;
- критической скорости – условной скорости потока.
Скорость звука является однозначной зависимостью от местной статической температуры в потоке газа; критическая скорость однозначно зависит от температуры адиабатного торможения потока во входном сечении канала, если полагают, что эта величина в дальнейшем остается неизменной при изменении разности давлений на входе и выходе.
При изменении перепада давлений в рассматриваемом канале происходит увеличение скорости движения потока. При неизменной площади сечения на выходе имеет место кризис течения – скорость движения потока при каком-то значении отношения давлений достигает скорости звука, и при дальнейшем увеличении перепада давлений не может возрасти. Этому моменту соответствует равенство единице как отношения скорости потока к скорости звука, так и отношения скорости потока к критической скорости.
Отношение скорости потока к местной скорости звука называется числом Маха и записывается , где
Т –температура газа, К
- показатель адиабаты, отношение теплоемкостей при постоянном давлении и объеме.
R – газовая постоянная, Дж/кг град
Число М может иметь любые значения от 0 и до бесконечности.
Отношение скорости потока к критической скорости записывается:
Т * - температура торможения, К
Одним из определяющих факторов является показатель адиабаты k. В соответствии с молекулярно-кинетической теорией газов имеется следующая модель. Значение теплоемкостей ср и сv зависят от газовой постоянной и числа степеней свободы i движения атомов в молекуле. Для одноатомных молекул число степеней свободы равно 3, для двух-атомных или 5 или 8. Тогда , а и k будет иметь значения 1,66 1,4 и 1,25. Для смеси газов возможный диапазон значений k колеблется между 1,66 и 1,20.
Используется в научно-технических эффектах
| Устройство для замера расхода или скорости жидкостей и газов в трубопроводах (Трубка Вентури) |
Используется в областях техники и экономики
| 1 | Трубопроводный транспорт |
| 1 | Воздушный транспорт |
| 1 | Обводнение и водоснабжение |
| 1 | Приборы для теплотехнических и теплофизических измерений |
Используются в научно-технических эффектах совместно с данным эффектом естественнонаучные эффекты
| 1 | Рост толщины пограничного слоя с ростом скорости (Рост толщины пограничного слоя с ростом скорости) |
| 1 | Ламинарное течение в пограничном слое (Ламинарное течение в пограничном слое) |
| 1 | Объемный расход жидкости или газа (Объемный расход) |
| 1 | Течение идеальной жидкости (Идеальная жидкость) |
| 1 | Движение жидкости в пограничном слое (Движение жидкости в пограничном слое) |
| 1 | Газодинамическая функция (Газодинамическая функция) |
| 1 | Течение вязкой жидкости или газа, характеризующееся упорядоченным движением частиц (Ламинарное течение жидкости или газа) |
| 1 | Течение вязкой несжимаемой жидкости (Течение вязкой несжимаемой жидкости) |
Следует заметить, что эти уравнения связывают параметры газа в одном и том же сечении потока и справедливы независимо от характера течения и происходящих в газе процессов. Переход от параметров в потоке к параметрам заторможенного газа по определению происходит по идеальной адиабате.
Характер изменения газодинамических функций τ(λ), π(λ), ε(λ) в зависимости от λ показан на рисунке 1: с увеличением от нуля до максимального значения
функции τ(λ), π(λ), ε(λ) монотонно уменьшаются от единицы до нуля. Это вполне соответствует и их физическому смыслу: при весьма малых скоростях (λ→0) параметры в потоке практически не отличаются от параметров полностью заторможенного газа; с увеличением скорости до предельного значения (M→∞ , λ→λmax) температура, давление и плотность газа при конечном значении параметров торможения стремятся к нулю.
Располагая графиками или таблицами, в которых для каждого значения k приведены значения функций τ(λ), π(λ), ε(λ), можно быстро определять параметры торможения по параметрам в потоке и наоборот.
Абрамович Г.Н. Прикладная газовая динамика. — 3-е изд., перераб. — М.: Наука, 1969. — С. 217.
Газодинамическими функциями (приведенными параметрами) называются отношния действительного значения какого- то параметра в произвольном течении потока газа к значению такого же параметра в сравнительном течении.
В качестве сравнительных течений используют критические параметры и параметры торможения. В газодинамике широко используется коэффициент скорости, равный отношению действительной скорости к критической:
Cоотношения между параметрами заторможенного потока и текущими параметрами обозначаются:
Одной из наиболее важных газодинамических функций в теории газодинамики является величина приведенной плотности потока массы газа:
В выражении (19) произведение имеет размерность: и выражение называется плотностью потока массы (удельный расход газа).
Выражение определяет количество газа (кг), протекающее через единицу площади (м 2 ) в единицу времени (с):
, где G (кг/c)- секундный расход потока газа через
сечение площадью F (м 2 ).
Величина 1/q характеризует относительную площадь сечения канала. Действительно, с учетом уравнения неразрывности:
(20) Все приведенные газодинамические функции можно выразить друг через друга.
Затем, зная значения масштабных параметров для приведения, можно числить и действительные параметры для потока газа.
Пример расчета сопла Лаваля с использованием газодинамических функций
Определить основные параметры и размеры критического и выходного сечений сопла Лаваля, через которое проходит 2 кг/с газа с параметрами po=1.5 МПа,
To= 2000 o K при истечении в среду рср=0.12 МПа. (Для газа R=400дж/кг К, k=1.4).
Параметры в выходном сечении найдем, используя исходные данные:
По найденной величине определим:
Тогда параметры потока в выходном сечении соcтавят:
Площадь выходного сечения сопла:
Лекция5
- Особенности распространения слабых возмущений в потоке
Рассмотрим картину распространения слабых возмущений в потоке газа, движущимся с различными скоростями.
Источником возмущения может служить точечное тело или острие тонкого предмета, на которое набегает поток газа.
- Неподвижный газ, с=0;
В это случае от источника возмущения, находящегося в точке Ао, будут распространяться сферические волны со скоростью с=a;
Через некоторый промежуток времени : t, 2t, 3t возмущения достигают точек, расположенных на сферических поверхностях: at; a2t; a3t.
Через достаточно большой промежуток времени возмущение распространится на весь объем, занимаемый газом.
- Скорость газа меняется (с<a);
В этом случае каждая определенная волна возмущения также является сферической, но точки, которых достигло возмущение, сносятся потоком со скоростью, равной с, вправо.
Центр каждой волны смещается вправо с той же скоростью и в моменты времени: t,2t, 3t.
и т.д. находятся на расстоянии сt; 2ct; 3ct. Как и в предыдущем случае, любая волна через достаточно большой промежуток времени распределяется на весь объем газа, толко навстречу потоку возмущения распространяются со скоростью с-a, а по потоку со скоростью с+a.
- скорость газа равна скорости звука (с=a)
В этом случае сферическая волна возмущения сносится потоком на величину своего размера и источник возмущения всегда находится на фронте волны.
С течением времени возмущения распространяются в газе, но они никогда не могут проникнуть в область, находящуюся перед источником возмущения, т.е. левее линии АОВ.
Cкорость газа больше скорости звука с>a
Область, куда могут проникнуть возмущения, становится меньше, чем в предыдущем случае. Она имеет вид конуса с вершиной в точке источника возмущения, описанного около сферических поверхностей.
Ясно, что в точки, расположенные за пределами этой сферической поверхности, возмущения никогда не попадут.Область, в которую проникают возмущения от точечных источников, движущихся в газе со сверхзвуковой скоростью, называется конусом Маха.
Угол называется углом возмущений.
Если скорость потока газа меньше скорости звука, то возмущения распространяются во всех объемах газа в том числе и в областях, находящихся перед источником возмущения.
Поток “ чувствует” находящееся впереди него препятствие задолго до приближении к нему и поэтому заранее перестраивается в зависимости от характера препятствия.
Если скорость потока равна скорости звука или большее ее, то возмущение, возникающее
от неподвижных предметов, не может проникнуть навстречу потоку.
До тех пор, пока частица газа не пересечет поверхность конца возмущений, возмущение, создающее этот конус, никак не влияет на движение частицы. Поэтому при движении со сверхзвуковой скоростью поток частиц подходит к препятствию неподготовленным- он не “ чуствует “ препятствия, расположенного впереди.
Невозможность предварительной перестройки (подготовки) потока при подходе к
препятствию является главной особенностью сверхзвукового потока и в этом случае в потоке образуется поверхность разрыва.
При пересечении потоком поверхности разрыва давление, температура и плотность возрастают, а скорость падает. Причем эти изменения происходят резко, скачком.
Поверхность разрыва, перемещающаяся в пространстве, называется ударной волной, а неподвижную ударную волну- скачком уплотнения.
Скачок уплотнения- зона резкого возрастания давления и плотности газа в сверхзвуковом потоке.
Существуют прямой и косой скачки уплотнений.
Прямой скачок- фронт скачка уплотнения перпендикулярен вектору скорости потока.
Уравнение энергии для прямого скачка примет вид:
С1, T1 – cкорость и температура потока газа до скачка уплотнения;
С2, T2 – cкорость и температура потока газа после скачка уплотнения;
Используя уравнения неразрывности и изменения количества движения, можно получить выражения для прямого скачка:
Из (1) видно, что в прямом скачке уплотнения сверхзвуковая скорость газа переходит в дозвуковую и чем выше скорость до скачка, тем сильнее скачок. С уменьшением начальной скорости с1 скачок ослабевает и исчезает совсем при .
Давление и плотность газа до и после скачка уплотнения связаны соотношениям
называемым уравнением ударной адиабаты:
Для прямого скачка:
Cущественной особенностью параметров потока газа при сверхзвуковом течении является то, что при неограниченном возрастании давления в скачке уплотнения ( отношение температур и давлений возрастают безгранично, а отношение плотностей имеет определенный предел, значение которого определяется выражением:
Косой скачок- фронт скачка уплотнения расположен по углом, отличном от 90 о к вектору скорости потока. Скорость С1- до косого скачка и С2- после косого скачка можно представить составляющими- нормальными к плоскости скачка Cn1 и Cn2 и касательными к ней: Ct1 и Сt2.
С1- вектор скорости потока перед скачком уплотнения
С2- вектор скорости потока после скачка уплотнения
- угол между вектором скорости и фронтом скачка
Основная задача о косом скачке- установление связи между параметрами до и после скачка и определение потерь , возникающих при переходе через скачок.
Используя закон сохранения массы- уравнение неразрывности, получим:
Используя закон сохранения импульсов- уравнение изменения количества движения, получим:
- касательные составляющие скоростей до и после скачка уплотнения одинаковы.
Используя закон сохранения энергии- уравнение Бернулли, можно найти взаимосвязь скоростей до и после скачка уплотнения:
В теории турбомашин не удобно пользоваться физической скоростью. Это связано с тем, что на практике важнее знать не саму величину скорости, а то как она соотносится со скоростью звука. Дело в том, что вблизи скорости звука в потоке появляются дополнительные волновые потери, связанные со скачками уплотнения, что мешает получению высоких КПД и требует иных подходов к проектированию.
Скорость звука представляет собой скорость распространения слабых возмущений от источника звука в среде. Как известно она зависит от температуры среды:
,
где - показатель изоэнтропы
R– газовая постоянная, .
Для воздуха при скорость звука равна . Поэтому, например скорость потока на входе в компрессор, где температура воздуха равна атмосферной, является сверхзвуковой. В то тремя как на выходе из компрессора, когда рабочее нагрелось в результате сжатия те же400м/сявляются глубоким дозвуком.
Оценить насколько далеко скорость рабочего тела отстоит от скорости звука можно с помощью безразмерных скоростей: числа Маха и приведенной скоростью .
Число Махапредставляет собой отношение скорости газа к местной скорости звука
где Т– статическая температура газа, К.
Число Маха может принимать любые положительные значения.
Под приведенной скоростью понимается отношение скорости газа к критической скорости
где - температура торможения, К.
Под критической скоростьюпонимают такую скорость течения газа, которая равна местной скорости звука. Чтобы представить ее следует рассмотреть процесс истечения газа из резервуара через сопло в атмосферу. Это течение является энергоизолированным. По мере нарастания скорости по длине сопла, температура а, следовательно, скорость звука уменьшаются. Таким образом в различных сечениях одного и того же потока скорость звука получается различной. В начале сопла меньше скорости потока, в конце – превышает ее. Где-то в средней части сопла существует сечение, в котором скорость потока равна местной скорости звука. Это сечение называетсякритическим, а параметры потока в нем критическими параметрами.
Приведенная скорость может изменяться в диапазоне от 0до .
Приведенная скорость и число МахаМсвязаны между собой следующими соотношениями
Числа Миявляются критериями подобия для сжимаемой жидкости. Так, например если в двух геометрически подобных каналах числаМна входе будут одинаковы, то отношения скоростей, давлений, плотностей и температур в двух сечениях одного канала будут равны отношению параметров в сходных сечениях подобного канала.
2.1.3 Газодинамические функции
Газодинамические функции представляют собой безразмерные функции приведенной скорости или числа МахаМ, равные отношениям важнейших параметров, характеризующих одномерный поток в различных его сечениях, к значениям этих параметров в критических сечениях или к значениям параметров заторможенного потока. Использование газодинамических функций совместно с параметрами заторможенного потока представляет значительное удобство при инженерных расчетах потоков.
Наиболее часто используются следующие газодинамические функции
- функция “тау от лямбда” , равная отношению статической температуры потокаТк температуре заторможенного потокаТ * в том же сечении
- функция “пи от лямбда” ,равная отношению статического давления потокаpк давлению заторможенного потокаp * в том же сечении
- функция “эпсилон от лямбда” ,равная отношению статической плотности потока к плотности заторможенного потока в том же сечении
- функция “q от лямбда” - приведенная плотность тока, равная отношению плотности тока в произвольном сечении к плотности тока в критическом сечении
Они заранее рассчитываются для всех значений приведенной скорости и сводятся в таблицы газодинамических функций. Последние составляются для различных показателей адиабаты. Наиболее распространены таблицы для воздухаk=1,4и для продуктов сгорания керосинаk=1,33(Приложение А).
Зная значение одной из функций с помощью таблиц легко найти значения остальных. По этой причине таблицы ГДФ получили широкое распространение в отечественной практике термогазодинамичеких расчетов в различных отраслях.
Читайте также: